Subcampos "pequeños" de campos algebraicamente cerrados

Question

Antecedentes suficientes:

Dejemos que $\mathcal{M}=(M,...)$ ser un $\mathcal{L}$ -estructura y $X\subset M$ .

Definición . $X$ es grande si existe una función $f:\mathcal{M}^n \overset {\leq k} \rightarrow \mathcal{M}$ definible en $\mathcal{M}$ tal que $f(X^n)=M$ para algunos $n$ , $k$ . Por lo demás, $X$ es pequeño .

Aquí, $f$ es un tipo de función multivaluada que se dirige a algunos subconjuntos de $M$ de menos o igual a $k$ elementos. Pero este punto no tiene tanta importancia, ya que en campos algebraicamente cerrados no necesitamos que las funciones sean tan "k-valentes" (debido a un lema).

Mi pregunta es...

En $ACF$ ¿cuándo tenemos exactamente que un subcampo es pequeño?

Por ejemplo En $(\mathbb{C}, +, \cdot , 0, 1)$ , $\mathbb{R}$ es grande ya que existe una función definible $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{C}$ enviando $(x, y)$ a $x+iy$ y por lo tanto $f(\mathbb{R}^2)=\mathbb{C}$ . Sin embargo, $\mathbb{Q}$ es pequeño debido al hecho general (que puede verse fácilmente) de que si $|X| < |M|$ y $|M|$ es infinito, entonces $|X|$ es pequeño.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un gran subcampo de un ACF $M$ .

Por eliminación del cuantificador, toda función definible de este tipo es algebraica a trozos, es decir, existe una $d$ tal que cada elemento de $M$ es algebraica de grado máximo $d$ en $X$ . En particular, $M$ es el cierre algebraico de $X$ .

En la característica $0$ toda extensión finita de $X$ es simple, por lo que la condición implica que toda extensión finita de $X$ tiene un grado como máximo $d$ De ahí que $[M:X]\le d$ . Es bien sabido que esto sólo es posible si $X=M$ o si $X$ es real-cerrado y $M=X(\sqrt{-1})$ .

En la característica $p$ , dejemos que $X\subseteq K\subseteq M$ sea el cierre separable de $X$ . Entonces $M$ es una extensión puramente inseparable de $K$ y utilizando la propiedad anterior, cada $a\in M$ satisface $a^{p^k}\in K$ para $p^k\le d$ . Desde $M$ es perfecto, esto implica $K=M$ . Así que, $M$ es separable sobre $X$ y podemos utilizar el teorema del elemento primitivo de Artin como en la característica $0$ caso para concluir que $X=M$ .

Así, $X$ es grande si $X=M$ o $X$ es real-cerrado y $M=X(\sqrt{-1})$ .

El argumento anterior suponía tácitamente que $f$ es definible sin parámetros. Si se permiten parámetros $a_1,\dots,a_n\in M$ la misma conclusión es válida con $X(a_1,\dots,a_n)$ en lugar de $X$ . Sin embargo, una extensión puramente trascendental de cualquier campo nunca es real cerrada o algebraicamente cerrada, por lo que de hecho $a_1,\dots,a_n$ tienen que ser algebraicas sobre $X$ y podemos olvidarnos de ellos. Así que de nuevo, $M=X$ o $M=X(\sqrt{-1})$ .