¿Hay una forma más corta para probar esto?

Question

Que $n$ un número natural y $A=(a_{ij})$, donde $a_{ij}=\left(\begin{array}{c}i+j \\i\end{array} \right)$, $0≤i,j<n$. Demostrar que A tiene una matriz inversa y que todas las entradas de $A^{−1}$ son números enteros.

He intentado demostrarlo como esto: (pero no estoy seguro si es correcto o lo suficientemente formal)

También si me podrian dar una sugerencia para probar el segundo aasertion sería genial. Gracias.

Answer 1

Hay (al menos) dos enfoques para mostrar que el inverso ha entero entradas. La primera es la regla de Cramer, que da a las entradas de la matriz inversa de a $A$ como cocientes de la forma "determinantes de ciertas submatrices de a $A$ dividida por el determinante de a $A$". Desde las entradas de su $A$ son enteros, y desde su fila de reducción de la muestra que el determinante de a$A$$1$, se deduce que estos coeficientes son números enteros.

Alternativamente, ¿conoce usted el algoritmo para invertir una matriz cuadrada por (1) la escritura de una matriz identidad del mismo tamaño junto a él (así que la combinación es una $n\times 2n$ de la matriz), (2) aplicando operaciones elementales con sus filas para convertir la matriz original en la matriz identidad, y (3) la lectura de la inversa de la región donde originalmente la matriz de identidad? Si es así, entonces usted ha hecho la mayor parte de la obra, para mostrar que la inversa de la matriz tiene entero entradas. Has fila reducida de la matriz a la forma triangular superior con $1$'s (no sólo la no-cero entradas, sino $1$'s) en la diagonal, sin tener que hacer ninguna división. Usted puede completar la fila-la reducción a la identidad, sin ninguna división. Todo el proceso de reducción, si se aplican a una matriz de identidad, no puede producir nada, pero enteros.

Answer 2

Deje $B=\left[b_{ij}=\binom{i}{j}\right]$$C=BB^t$. Tenemos $c_{ij}=\sum_{k=0}^i\binom{i}{k}\binom{j}{k}=\binom{i+j}{i}=a_{ij}$, lo $C=A$. Por lo que es suficiente para mostrar que la inversa de a $B$, tiene todo entero entradas. Debido a $B$ es triangular inferior $B^{-1}$ también es triangular inferior y se puede encontrar columna por columna. La primera columna de $B^{-1}$ es un vector de la alternancia $+1$ $-1$s. Creo que debería ser fácil a partir de este punto para mostrar las entradas en las columnas siguientes son también enteros, uno por uno. Para ser exactos que usted necesita para inspeccionar las ecuaciones lineales correspondientes a la entrada de $B^{-1}$ que está siendo inspeccionado.

Answer 3

Por las reglas del Triángulo de Pascal $$ \binom{i+1+j}{j}-\binom{i+j}{j}=\binom{i+j}{j-1} $$ lo que significa que la fila $i+1$ menos la fila $i$ da de la fila $i+1$ se desplaza a la derecha. $$ a_{i+1,j}-a_{i,j}=a_{i+1,j-1} $$ Esto se puede hacer a cambio de fila $n$ a la derecha, a continuación, mayús fila $n-1$, hasta fila $2$. Podemos repetir el proceso de cambio de filas $n$ a través de $3$ a la derecha. Podemos continuar este proceso hasta que tengamos toda la $1$s en la diagonal y $0$s en el triángulo inferior izquierdo.

Restando una fila a otra no cambia el determinante, por lo que el original fue determinante $1$.

Utilizando la Regla de Cramer, tenemos que la inversa es un entero de la matriz.

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Restar de la fila $3$ de la fila $4$: $$\pequeño \begin{bmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{1}&\binom{2}{2}&\binom{3}{3}\\ \binom{1}{0}&\binom{2}{1}&\binom{3}{2}&\binom{4}{3}\\ \binom{2}{0}&\binom{3}{1}&\binom{4}{2}&\binom{5}{3}\\ \binom{3}{0}&\binom{4}{1}&\binom{5}{2}&\binom{6}{3}\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{1}&\binom{2}{2}&\binom{3}{3}\\ \binom{1}{0}&\binom{2}{1}&\binom{3}{2}&\binom{4}{3}\\ \binom{2}{0}&\binom{3}{1}&\binom{4}{2}&\binom{5}{3}\\ 0&\binom{3}{0}&\binom{4}{1}&\binom{5}{2}\\ \end{bmatrix} $$ Restar de la fila $2$ de la fila $3$: $$\pequeño \begin{bmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{1}&\binom{2}{2}&\binom{3}{3}\\ \binom{1}{0}&\binom{2}{1}&\binom{3}{2}&\binom{4}{3}\\ \binom{2}{0}&\binom{3}{1}&\binom{4}{2}&\binom{5}{3}\\ 0&\binom{3}{0}&\binom{4}{1}&\binom{5}{2}\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{1}&\binom{2}{2}&\binom{3}{3}\\ \binom{1}{0}&\binom{2}{1}&\binom{3}{2}&\binom{4}{3}\\ 0&\binom{2}{0}&\binom{3}{1}&\binom{4}{2}\\ 0&\binom{3}{0}&\binom{4}{1}&\binom{5}{2}\\ \end{bmatrix} $$ Restar de la fila $1$ de la fila $2$: $$\pequeño \begin{bmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{1}&\binom{2}{2}&\binom{3}{3}\\ \binom{1}{0}&\binom{2}{1}&\binom{3}{2}&\binom{4}{3}\\ 0&\binom{2}{0}&\binom{3}{1}&\binom{4}{2}\\ 0&\binom{3}{0}&\binom{4}{1}&\binom{5}{2}\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{1}&\binom{2}{2}&\binom{3}{3}\\ 0&\binom{1}{0}&\binom{2}{1}&\binom{3}{2}\\ 0&\binom{2}{0}&\binom{3}{1}&\binom{4}{2}\\ 0&\binom{3}{0}&\binom{4}{1}&\binom{5}{2}\\ \end{bmatrix} $$ Restar de la fila $3$ de la fila $4$: $$\pequeño \begin{bmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{1}&\binom{2}{2}&\binom{3}{3}\\ 0&\binom{1}{0}&\binom{2}{1}&\binom{3}{2}\\ 0&\binom{2}{0}&\binom{3}{1}&\binom{4}{2}\\ 0&\binom{3}{0}&\binom{4}{1}&\binom{5}{2}\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{1}&\binom{2}{2}&\binom{3}{3}\\ 0&\binom{1}{0}&\binom{2}{1}&\binom{3}{2}\\ 0&\binom{2}{0}&\binom{3}{1}&\binom{4}{2}\\ 0&0&\binom{3}{0}&\binom{4}{1}\\ \end{bmatrix} $$ Restar de la fila $2$ de la fila $3$: $$\pequeño \begin{bmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{1}&\binom{2}{2}&\binom{3}{3}\\ 0&\binom{1}{0}&\binom{2}{1}&\binom{3}{2}\\ 0&\binom{2}{0}&\binom{3}{1}&\binom{4}{2}\\ 0&0&\binom{3}{0}&\binom{4}{1}\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{1}&\binom{2}{2}&\binom{3}{3}\\ 0&\binom{1}{0}&\binom{2}{1}&\binom{3}{2}\\ 0&0&\binom{2}{0}&\binom{3}{1}\\ 0&0&\binom{3}{0}&\binom{4}{1}\\ \end{bmatrix} $$ Restar de la fila $3$ de la fila $4$: $$\pequeño \begin{bmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{1}&\binom{2}{2}&\binom{3}{3}\\ 0&\binom{1}{0}&\binom{2}{1}&\binom{3}{2}\\ 0&0&\binom{2}{0}&\binom{3}{1}\\ 0&0&\binom{3}{0}&\binom{4}{1}\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{1}&\binom{2}{2}&\binom{3}{3}\\ 0&\binom{1}{0}&\binom{2}{1}&\binom{3}{2}\\ 0&0&\binom{2}{0}&\binom{3}{1}\\ 0&0&0&\binom{3}{0}\\ \end{bmatrix} $$ El factor determinante es $\binom{0}{0}\binom{1}{0}\binom{2}{0}\binom{3}{0}=1$.