Convergencia del método de Jacobi

Question

Dejemos que $C \in \mathbb R^{n,n}$ sea una matriz simétrica y definida positivamente y $D_C$ sea una matriz diagonal con entradas diagonales de C.

Además, dejemos que $$\bar{C} = 2D_C -C$$ sea una matriz de definición positiva.

Demuestre que el método de Jacobi converge para $C x=b$ .

Así que dejemos $F^2 = D_C.$

He intentado comprobar la matriz $I_n-F^{-1}CF^{-1}$ . Como C es una matriz simétrica de definición positiva, sé que todos los valores propios son positivos. He intentado comprobar también el radio espectral pero estoy muy perdido.

Answer 1

Tenemos una declaración más general ( Teorema de Householder-John ):

Dejemos que $A$ y $M+M^*-A$ sea hermitiana positiva definida y $M$ sea una matriz invertible. Entonces $\rho(I-M^{-1}A)<1$ .

Dejemos que $\lambda$ y $x\neq 0$ sea un valor propio y un vector propio de $I-M^{-1}A$ así que $$(I-M^{-1}A)x=\lambda x \iff (1-\lambda)Mx=Ax.$$ Tenemos $\lambda\neq 1$ Si no es así $A$ sería singular. Premultiplicando por $x^*$ y tomando la transposición conjugada se obtiene $$x^*Mx=\frac{1}{1-\lambda}x^*Ax, \quad x^*M^*x=\frac{1}{1-\bar{\lambda}}x^*Ax.$$ Por lo tanto, $$x^*(M+M^*-A)x=\left(\frac{1}{1-\lambda}+\frac{1}{1-\bar{\lambda}}-1\right)x^*Ax =\frac{1-|\lambda|^2}{|1-\lambda|^2}x^*Ax.$$ Ambos $A$ y $M+M^*-A$ son HPD, tenemos $x^*(M+M^*-A)x>0$ y $x^*Ax>0$ . Por lo tanto, $$1-|\lambda|^2>0\iff |\lambda|<1.$$

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Ahora, para responder a la pregunta, establezca $A:=C$ y $M:=D_C$ para conseguirlo:

Si $C$ y $2D_C-C$ son positivas definidas entonces $\rho(I-D_C^{-1}C)<1$ y el método de Jacobi para $Cx=b$ es convergente.