Uso de la transformada de Laplace para resolver una ecuación diferencial $y'' -4y' = -4te^{2t}$

Question

$y'' -4y' = -4te^{2t}, y(0)=0, y'(0)=1$ Si tomas la transformada de laplace de todos los términos, aísla L(y), obtuve $$L(y) = \frac{1}{(p-2)^2} + \frac{-2}{(p-2)^2 -4}$$

Entonces, tomando la inversa de Laplace, se obtiene $$y(t) = te^{2t} - e^{2t}sinh(2t)$$

Pero la solución es simplemente $te^{2t}$ . ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

¿Cuáles son las condiciones iniciales? ¿Cuál es la solución dada?

Su $-e^{2t}\sinh(2t)$ es una solución de la ecuación homogénea $y''-4y'=0$ y también puede escribirse como $\frac12e^{4t}-\frac12$ . La ecuación homogénea tiene soluciones $ae^{4t}+b$ para las constantes $a$ y $b$ . Si no hay condiciones iniciales dadas, las tomamos todas, mientras que si hay condiciones iniciales específicas necesitaremos valores específicos - que se pueden encontrar aplicando el cuidado apropiado en la ecuación de la transformación de Laplace.

Dadas las condiciones iniciales $y(0)=c_0$ , $y'(0)=c_1$ la ecuación de la transformada de Laplace se convierte en $$(p^2L(p) - pc_0 - c_1) - 4(pL(p) - c_0) = \frac{-4}{(p-2)^2}$$ Resuelve eso para $L(p)$ y tendrás la solución exacta con las condiciones iniciales. Si su forma tiene funciones hiperbólicas $\cosh$ o $\sinh$ en él, recuerde que estos se pueden convertir en exponenciales.

Answer 2

Su solución funciona para las condiciones iniciales $y(0)=0,y'(0)=-1$ no los indicados en la pregunta.

$\mathcal L[y'']-4\mathcal L[y']=[s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)]-4[sY(s)-y(0)]\\=(s^2-4s)Y(s)\color{red}{-1}=\dfrac{-4}{(s-2)^2}\\\therefore Y(s)=\dfrac1{s^2-4s}-\dfrac4{(s^2-4s)(s-2)^2}=\dfrac1{(s-2)^2}\\\therefore y(t)=te^{2t}$

Answer 3

En primer lugar, debe determinar si desea utilizar la transformada de Laplace de una o dos caras. Este problema puede resolverse fácilmente utilizando la transformada de Laplace de dos caras, en cuyo caso las condiciones iniciales deberían no se aplique. Por definición $$F(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$ y $$f'(t)\iff sF(s)\\f''(t)\iff s^2F(s)$$ también $$e^{at}\iff \delta(s-a)$$ por lo tanto $$te^{at}\iff -\delta'(s-a)$$ por sustitución obtenemos $$(s^2-4s)Y(s)=-4\delta'(s-2)\iff Y(s)={-4\delta'(s-2)\over s^2-4s}=-\delta'(s-2)$$ por lo tanto $$y(t)=te^{2t}$$