¿Por qué el grupo ortogonal $O_2$ ¿Generado sólo por rotaciones y reflexiones?

Question

Consideremos las siguientes isometrías en el grupo euclidiano de mapas preservadores de distancia del plano $\mbox{Iso}(\mathbb R^2)$ que se genera por lo siguiente:

1. Rotaciones $\rho_\theta$ alrededor del origen por un ángulo de $\theta$ .
2. Reflexión $r$ sobre $x$ -eje.
3. Traducción $t_a$ por un vector $a$ .

Quiero demostrar que el grupo $O_2=\{f\in\mbox{Iso}(\mathbb R^2):f(0)=0\}$ es generado por $\{r,\rho_\theta:\theta\in\mathbb R\}$ . Lo que me desconcierta es qué prohíbe un término como $t_a\circ f_1\circ\cdots\circ f_n\circ t_b$ de estar en $O_2$ .

No es que $O_2$ es abeliano que podemos utilizar la propiedad conmutativa para reescribir este término como una traslación seguida de algunas rotaciones/reflexiones tras las cuales podemos obtener una traslación en $O_2$ lo cual es claramente un absurdo.

Answer 1

No es que una composición de la forma $t_a\circ f_1\circ\cdots\circ f_n\circ t_b$ no podría estar en $O_2$ pero en ese caso es igual a $f_1\circ\cdots\circ f_n$ . Esto se debe a que el subgrupo de las traslaciones es un subgrupo normal, por lo que para cada operación $f$ y cada traducción $t_a$ hay algún vector $a'$ tal que $t_a\circ f=f\circ t_{a'}$ . Entonces, utilizando tales transformaciones, se puede "perseguir" la traducción original $t_a$ todo el camino hacia la derecha (cambiándolo por una traducción diferente en cada paso), donde se combina finalmente con $t_b$ a una única traducción. Además, dado que la traslación resultante es ahora la única que puede mover el origen, debe ser la traslación cero si la composición completa es para fijar el origen.