Resolución de ecuaciones lineales con aritmética de coma flotante

Question

Dada la matriz A = $\begin{pmatrix} 0.005 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$ y el vector b = $\begin{pmatrix} 0.5 \\1 \end{pmatrix} $ tenemos que resolver para x en Ax = b de tres maneras diferentes:

1. Eliminación gaussiana
2. Sin "pivotización", es decir, sin intercambiar filas y columnas y en la aritmética de punto flotante $\mathbb F(10,3,-10,10)$
3. Con la "pivotización" en $\mathbb F(10,3,-10,10)$

$\mathbb F(\beta,t,e_{min},e_{max})$ se define como sigue: $\beta \in \mathbb N, b \geq 2$ es la base, $t \in \mathbb N$ es la longitud de la mantisa y $e_{min}$ y $e_{max}$ con $e_{min} < 0 < e_{max}$ son los límites del exponente. Entonces $\mathbb F$ se define como sigue:

$\mathbb F := \{ \pm \beta^{e}(\frac{d_1}{\beta} + ...+ \frac{d_t}{\beta^t}); d_1,...,d_t \in \{0,...,\beta-1\}, d_1 \neq 0, e \in \mathbb Z, e_{min} \leq e \leq e_{max} $ } o {0}

Mis soluciones:

1. Con la eliminación gaussiana simplemente obtengo x_1 = 100/199 y x_2 = 99/199.

2. y 3. No entiendo muy bien, ya que incluso para la eliminación gaussiana no es realmente necesario intercambiar filas y colunas. En cuanto a la aritmética del punto flotante entonces, me pregunto si las soluciones serían simplemente x_1 = 0,503 y x_2 = 0,497?

Answer 1

Por eliminación gaussiana sin limitación de precisión, vería $$\begin {pmatrix} 0.005&1&0.5\\1&1&1 \end {pmatrix}\to \begin {pmatrix} 0.005&1&0.5\\0&-199&-99 \end {pmatrix}\to \begin {pmatrix} 1&200&100\\0&1&\frac{99}{199} \end {pmatrix} \to\begin {pmatrix} 1&0&100-200\cdot \frac {99}{199}\\0&1&\frac{99}{199} \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 1&0&\frac {100}{199}\\0&1&\frac{99}{199} \end {pmatrix}$$

de acuerdo con su respuesta. Con la precisión restringida, no podemos representar $\frac {99}{199}$ y lo redondeará a $0.497$ . Entonces la primera coordenada de la solución se convierte en $100-99.4=0.6$ . Si se intercambian las filas, creo que la cancelación será mucho menor porque el $0.005$ ya no está en la diagonal y la respuesta será mucho más cercana a la verdad.