¿Cuál es la relación entre la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad de Cauchy-Schwarz ampliada?

Question

Estoy aprendiendo el análisis multivariante. La desigualdad de Cauchy-Schwarz desempeña un papel importante en varias técnicas multivariantes.

1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz: Sean b y d dos p $\times$ 1 vectores. Entonces $$(b'd)^2\leq(b'b)(d'd)$$

2. Desigualdad de Cauchy-Schwarz ampliada: Sean b y d dos p $\times$ 1 y B sea un vector p $\times$ p matriz positiva definida. Entonces $$(b'd)^2\leq(b'Bb)(d'B^{-1}d)$$

No es tan difícil de probar. Yo NO preguntando cómo probarlo.

Mi pregunta:

Considere que hay un p $\times$ p matriz de identidad en la mano derecha de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, es decir, (b'Ib)(d'Id). ¿Por qué podemos convertir I en una matriz definida positiva para que la desigualdad se mantenga? ¿Cómo entender este hecho de forma intuitiva?

Answer 1

Yo diría que se trata de la posible productos escalares que se puede imponer a un espacio vectorial dado.

Si $B$ es una matriz definida positiva (simétrica), entonces $(u,v)\mapsto u'Bv$ sólo define un producto escalar. La desigualdad de Cauchy-Schwarz es válida para cualquier producto escalar.