Dejemos que $G_1,G_2$ sean dos grupos. La propiedad universal de su coproducto puede ser enunciado de la siguiente manera
El coproducto de $G_1,G_2$ es un objeto $G_1+G_2$ junto con un par de inclusiones $\iota_1\colon G_1\to G_1+G_2$ , $\iota_2\colon G_2\to G_1+G_2$ tal que para cada par de homomorfismos de grupo $f_1\colon G_1\to H$ , $f_2\colon G_2\to H$ existe un único homomorfismo de grupo $\sigma\colon G_1+G_2\to H$ tal que $\sigma\circ\iota_1=f_1$ y $\sigma\circ\iota_2=f_2$ .
A modo de comparación, la propiedad universal de su producto viene dada por
El producto de $G_1,G_2$ es un objeto $G_1\times G_2$ junto con un par de proyecciones $\pi_1\colon G_1\to G_1+G_2$ , $\pi_2\colon G_2\to G_1+G_2$ tal que para cada par de homomorfismos de grupo $f_1\colon G_1\to H$ , $f_2\colon G_2\to H$ existe un único homomorfismo de grupo $\sigma\colon H\to G_1\times G_2$ tal que $\pi_1\circ\sigma=f_1$ y $\pi_2\circ\sigma=f_2$ .
En ambos casos los homomorfismos de grupo dados mediante el (co)producto de una u otra manera. Lo que hace que los grupos abelianos sean especiales: para muchos grupos finitos $G_1,\dots, G_n$ su producto y coproducto coinciden y llamamos al objeto definido su suma directa .
Considere dos grupos $G_1,G_2$ y su producto cartesiano teórico de conjuntos (que, por cierto, es también el producto de dos conjuntos en el sentido universal como el anterior). Definamos las flechas de proyección por
$$\pi_1\colon G_1\times G_2\to G_1,~(g_1,g_2)\mapsto g_1,~~~\pi_2\colon G_1\times G_2\to G_2,~(g_1,g_2)\mapsto g_2$$
Y para dos mapas dados $f_1\colon H\to G_1$ , $f_2\colon H\to G_2$ dejar $\sigma(x)=(f_1(x),f_2(x))$ para todos $x\in H$ que garantiza $\pi_1\circ\sigma=f_1$ y $\pi_2\circ\sigma=f_2$ . Te dejo que demuestres que este morfismo es único como mero función de ajuste . Dotar al producto cartesiano de composición por componentes convirtiéndolo en un grupo. Queda por demostrar que $\sigma$ es entonces de hecho un homomorfismo de grupo. Para ello dejemos que $x,y\in H$ y observar
\begin{align*} \sigma(xy)=(f_1(ab),f_2(ab))&=(f_1(a)f_1(b),f_2(a)f_2(b))\\ &=(f_1(a),f_2(a))\circ(f_1(b),f_2(b))\\ &=\sigma(x)\circ\sigma(b) \end{align*}
Este argumento es válido para todo grupos y así podemos formar su producto categórico . Sin embargo, dejemos $G_1,G_2$ ser abelianos y considerar su producto (o simplemente el producto cartesiano). Definir las flechas de inclusión por
$$\iota_1\colon G_1\to G_1\times G_2,~g_1\mapsto(g_1,1),~~~\iota_2\colon G_2\to G_1\times G_2,~g_1\mapsto(1,g_2)$$
Aquí $(1,1)$ es la identidad de $G_1\times G_2$ bajo la composición por componentes. Para dos mapas dados $f_1\colon G_1\to H$ , $f_2\colon G_2\to H$ dejar $\sigma(x)=f_1(x)f_2(x)$ para todos $x\in G_1\times G_2$ . Por construcción $\sigma\circ\iota_1=f_1$ y $\sigma\circ\iota_2=f_2$ y puedes divertirte mostrando que este mapa es único, etc. (en realidad, hazlo una vez en el set y serás feliz para toda la vida). Ahora, lo difícil: demostrar que $\sigma$ como se define es un homomorfismo de grupo. Sea $x,y\in G_1\times G_2$ entonces
\begin{align*} \sigma(xy)=f_1(xy)f_2(xy)&=[f_1(x)f_1(y)][f_2(x)f_2(y)]\\ &\color{red}=\color{red}{[f_1(x)f_2(x)][f_1(y)f_2(y)]}\\ &=\sigma(x)\sigma(y) \end{align*}
Así que podemos formar su coproducto categórico de dos grupos abelianos cualesquiera simplemente equipando su producto con inclusiones adecuadas. Sin embargo, nótese que la transición crucial fue a la línea acentuada, que no ser posible si no $f_1(y)f_2(x)=f_2(x)f_1(y)$ es decir, si $H$ no eran abelianos.
Si tomamos dos grupos arbitrarios no abelianos posibles, no podemos definir simplemente $\sigma$ tan sencillo como en el caso abeliano y la estructura interna del producto gratuito es decir, el coproducto, de dos grupos es diferente (básicamente, todo se complica; véase aquí para algunas explicaciones).
Consideremos el producto directo de $\mathcal C_2$ y $\mathcal C_3$ : $\mathcal C_2\times\mathcal C_3$ . Entonces $\mathcal C_2\times\mathcal C_3$ es no un coproducto de grupos
Aquí $\mathcal C_2,\mathcal C_3$ son grupos cíclicos. Por supuesto, si consideramos $\mathcal C_2,\mathcal C_3$ como grupos abelianos, pero entonces sólo permitiríamos pares de mapas $f_1\colon\mathcal C_2\to H$ , $f_2\colon\mathcal C_3\to H$ con $H$ abeliana. Dejando de lado esta hipótesis, consideremos $H=S_3$ .
Puede incrustar $\mathcal C_2,\mathcal C_3$ en $S_3$ de forma canónica enviando $[1]_2\in\mathcal C_2$ a una transposición y $[1]_3\in\mathcal C_3$ a un $3$ -ciclo. Tomemos estas incrustaciones $\iota,\overline{\iota}$ y asumir $\mathcal C_2\times\mathcal C_3$ es un coproducto. Entonces existiría un homomorfismo de grupo (único) $\sigma\colon\mathcal C_2\times\mathcal C_3\to S_3$ haciendo que todo conmute (es decir, satisfaciendo la propiedad universal de arriba). De aquí se puede derivar que esto implicaría $\sigma(x,y)=\iota(x)\overline{\iota}(y)=\overline{\iota}(x)\iota(y)$ para todos $x\in\mathcal C_2,y\in\mathcal C_3$ ; toma $x=[1]_2$ y $y=[1]_3$ y derivar una contradicción (dos elementos conmutativos en $S_3$ que no conmutan, como se puede comprobar por cálculo). Así, el producto directo $\mathcal C_2\times\mathcal C_3$ de $\mathcal C_2,\mathcal C_3$ es no su coproducto.
El producto libre de $\mathcal C_2,\mathcal C_3$ se puede construir tomando dos generadores $x,y$ y obligarles a cumplir $x^2=1,y^3=1$ solamente. Este grupo está formado por todas las "palabras" de la forma $xy^2yxy^2x$ etc. y, como he dicho, es un poco más caótico si quieres.
Esto es un ejercicio ${\rm II}.3.5$ en P. Aluffi's: Álgebra Capítulo 0 y la idead de la prueba está tomada de estas notas
Los conceptos de producto y coproducto puede generalizarse a categorías arbitrarias apelando simplemente a las propiedades universales dadas. Mirando al revés: podemos ver la suma directa (o el producto directo, o la unión disjunta, etc. pp.) como objetos particulares con propiedades particulares deseables definidos por las respectivas propiedades universales; no como objetos que resulta que satisface tal o cual propiedad .
Definimos la suma directa (el producto directo, la unión disjunta) de manera que hagan exactamente lo que queremos; y lo que queremos está codificado en la propiedad universal. Tal vez esto ayude a ganar algo de intuición.
