Si $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge y $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt a_n}{n^p}$ diverge, entonces p $\in$ {?}

Question

Dejemos que { $a_n$ } sea una secuencia de números reales no negativos tal que la serie $$\sum_{n=1}^\infty a_n$$ es convergente.

Si p es un número real tal que la serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt a_n}{n^p}$$ diverge, entonces ¿qué se puede decir del valor de p?

Answer 1

Por el Desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos $$\sum_1^N \frac{\sqrt{a_n}}{n^p}\le \left(\sum_1^N a_n\right) \left(\sum_1^N \frac{1}{n^{2p}}\right).$$ La suma de la izquierda es ilimitada, y por lo tanto $\sum_1^N \frac{1}{n^{2p}}$ no tiene límites. De ello se desprende que $p\le 1/2$ .

Observación: No podemos reforzar la desigualdad para $p\lt 1/2$ . Porque si $n\ge 2$ , dejemos que $a_n=\frac{1}{n\log^2 n}$ . Entonces $\sum a_n$ converge, y $\sum \frac{\sqrt{a_n}}{n^{1/2}}$ diverge.

Answer 2

Parece que tendremos que hacer uso de la A.M. $\ge$ La desigualdad de G.M. aquí, por lo que tenemos $$\frac {\sqrt{a_n}} {n^p} \leq a_n + \frac{1}{n^{2p}}$$ Ahora, esto diverge para p $\le$ $\frac12$ . Así que esa debe ser la respuesta requerida.

¿Puede alguien mostrar cómo hacer esto utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz? Creo que es sencillo:)