Demostrar que la secuencia $ c_1 = 1$ , $c_{n+1} = 4/(1 + 5c_n) $ , $ n \geq 1$ es convergente y encontrar su límite

Question

Demostrar que la secuencia $c_{1} = 1$ , $c_{(n+1)}= 4/(1 + 5c_{n})$ , $n \geq 1$ es convergente y encontrar su límite.

Bien, hasta ahora he resuelto un par de cosas.
$c_1 = 1$
$c_2 = 2/3$
$c_3 = 12/13$
$c_4 = 52/73$

Así que el impar $c_n$ son decrecientes y el par $c_n$ están aumentando. Intuitivamente, está claro que las dos secuencias para impar e incluso $c_n$ disminuyen o aumentan cada vez menos. Por lo tanto, parece que la secuencia puede converger a algún límite $L$ .

Si la secuencia tiene un límite, sea $L=\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }a_{n}.$ Entonces $L = 1/(1+5L).$ Así que cedemos $L = 4/5$ y $L = -1$ . Pero como la secuencia par es creciente y >0, entonces $L$ debe ser $4/5$ .

Bien, aquí estoy atascado. No estoy seguro de cómo seguir adelante y mostrar que la secuencia converge a este límite (intenté usar la definición del límite pero no lo logré) y y no estoy seguro de las secuencias separadas cómo haría para mostrar sus límites.

Algunas notas : Estoy en 2º de cálculo. Esta es una pregunta de bonificación, pero me gusta el desafío y me encantaría la puntuación extra. Nota : Una vez más me disculpo no sé cómo utilizar el código HTML para que sea agradable.

Answer 1

Esta es una versión más explícita de mi sugerencia. Dije que sería más fácil demostrar que $d_n = c_n - \frac{4}{5}$ tiende a cero a medida que $n \to \infty$ . Esto da $d_1 = \frac{1}{5}$ y la recurrencia

$$d_{n+1} + \frac{4}{5} = \frac{4}{1 + 5(d_n + \frac{4}{5})} = \frac{4}{5} \frac{1}{1 + d_n}$$

por lo que

$$d_{n+1} = - \frac{4}{5} \frac{d_n}{1 + d_n}.$$

¿Puedes ver qué hacer desde aquí?

Editar: Algunas pistas más. Si el $1 + d_n$ en el denominador eran sólo un $1$ habríamos terminado porque entonces $|d_n|$ disminuiría exponencialmente al menos tan rápido como $\left( \frac{4}{5} \right)^n$ . Pero no lo es. Sin embargo, $d_n$ es pequeño, por lo que el denominador debería estar lo suficientemente cerca de $1$ que este argumento debe seguir adelante. Más concretamente, sólo hay que encontrar una constante $0 < c < \frac{1}{5}$ de manera que se pueda demostrar que $|d_n| \le c$ , digamos que para $n \ge 2$ . (Quizás por inducción.) De ahí se deduce que $|d_n|$ de hecho decae exponencialmente al menos tan rápido como $\left( \frac{4}{5(1 - c)} \right)^n$ .

Este es un ejemplo de una técnica general llamada "bootstrapping", en la que se utilizan estimaciones débiles junto con las relaciones que satisface una secuencia para obtener estimaciones más sólidas.

Answer 2

Bien hecho. Tus observaciones son correctas y se pueden completar para dar una prueba de que la secuencia es convergente a $\frac{4}{5}$ .

Lo difícil para demostrar tus observaciones es probar que las subsecuencias impar/par son monótonas y adecuadamente acotadas (¿qué quiero decir con esto?).

Aquí tienes una pista:

Demuestra que $$ c_{2n-1} \ge \frac{4}{5} \ge c_{2n} \ \ \forall n \ge 1$$

Pista2:

Intenta escribir $\displaystyle c_{n+2}$ en términos de $\displaystyle c_{n}$ y ver si eso te ayuda a demostrar los límites anteriores (y como siguiente paso, la monotonicidad).

(Para una prueba más sencilla del límite anterior, también se puede intentar demostrar que si $c_{n} \ge 4/5$ entonces $c_{n+1} \le 4/5$ y de forma similar si $c_n \le 4/5$ entonces $c_{n+1} \ge 4/5$ ).

Answer 3

Como demuestran las otras respuestas, hay varias formas agradables de enfocar este problema.

Podrías concentrarte sólo en $C_{2n-1},$ decir, ya que si se establece que $C_{2n-1}$ tiende a un límite que se clava automáticamente $C_{2n}$ también, porque

$$C_{2n} = \frac{4}{1+5C_{2n-1}} \textrm { so } \lim C_{2n} = \lim \frac{4}{1+5C_{2n-1}}.$$

Ahora es fácil mostrar $C_{2n-1} > 4/5$ y así ampliar $$(5C_{2n-1}-4)(C_{2n-1}+1)>0$$

y manipular (añadir $20C_{2n-1}$ a ambos lados y llevar el 4 al lado derecho) para obtener

$$ C_{2n-1} > \frac{4+20C_{2n-1}}{21+5C_{2n-1}} = C_{2n+1},$$

y como $C_{2n-1}$ está acotado por debajo de 4/5, el resultado es inmediato.

Answer 4

Así que $c_{1} = 1$ y $c_{n+1} = 4/(1+5c_{n})$ para $n \geq 1$ . Sea $C(x) = \sum_{n \geq 1} c_{n}x^n$ . Entonces tal vez trate de expresar $\sum_{n \geq 1} c_{n+1}x^n$ y $\sum_{n \geq 1} \frac{4x^n}{1+5c_{n}}$ en términos de $C(x)$ para obtener una forma cerrada.

Answer 5

Esta es una forma de demostrarlo: dejemos que $f(x) = 4/(1+5x)$ . Diga $|x-4/5| \le C$ para alguna constante $C$ . ¿Puedes encontrar $C$ y alguna constante $0 \le k < 1$ para que si $|x-4/5| \le C$ entonces $|f(x)-4/5| \le k|x-4/5|$ ?

Si haces esto, entonces puedes iterar para obtener $|f^j(x)-4/5| \le k^j |x-4/5|$ para todos $j$ y por lo tanto, si usted hace $j$ lo suficientemente grande, entonces puedes conseguir $f^j(x)$ tan cerca de $4/5$ como quieras.