Puntos equidistantes en un círculo

Question

Esta es una variación de una pregunta que se ha formulado varias veces, pero actualmente tengo el cerebro tan nublado que aparentemente no puedo ver el bosque por los árboles.

Dado un círculo con radio r, necesito determinar cuántos puntos puedo poner en el círculo que estén al menos a 2 unidades (lineales, no medidas a lo largo del arco) de distancia entre sí. Estoy trabajando en radianes, si eso importa en absoluto.

(Editar, el '2' en el diagrama anterior debería ser ' $\ge$ 2')

Answer 1

Voy a suponer (sin ninguna base real salvo una cierta experiencia) que una solución óptima es aquella que parte de un punto en $(r, 0)$ sigue con otro punto cuya distancia a éste es exactamente 2, y así sucesivamente, hasta dar "toda la vuelta al círculo".

Para facilitarme la vida, voy a sustituir la pregunta por "En un unidad círculo, cuántos puntos con distancia $h = \frac{2}{r}$ ¿puedo encajar?" (Esa es la pregunta original, reducida por un factor de $r$ en todas las direcciones).

Bueno, necesitas un punto $$ P = (\sin t, \cos t) $$ con la propiedad de que $$ (1 - \sin t, \cos t) $$ tiene una longitud $h$ Así que \begin{align} h^2 &= 1 - 2\sin t + \sin^2 t + \cos^2 t \\ h^2 &= 1 - 2\sin t + 1 \\ h^2 &=2 - 2\sin t \\ h^2 &=2 - 2\sin t \\ 2-h^2 &= 2 \sin t \\ 1-\frac{h^2}{2} &= \sin t \end{align}

así que $t = \arcsin \left( 1 - \frac{h^2}{2} \right)$ .

Ahora vas a marcar los puntos en los ángulos $0, t, 2t, 3t, \ldots$ hasta que hayas dado casi toda la vuelta al círculo. Habrá dos casos:

1. $n = \frac{2\pi}{t}$ es un número entero. En este caso, el $n$ ángulos $0, t, 2t, \ldots, (n-1)t$ determinar los puntos que desea.

2. $n$ no es un número entero. En ese caso, el $n-1$ ángulos $0, t, 2t, \ldots (n-2)t$ determinar los puntos que desea.

Convirtiendo a su notación:

1. Dejemos que $t = \arcsin(1 - \frac{2}{r^2})$ .
2. Calcula $n = \frac{2\pi}{t}$ .
3. Si $n$ es un número entero, entonces puede encajar $n$ puntos con todas las distancias parciales al menos $2$ .
4. De lo contrario, puede encajar $\lfloor n \rfloor$ tales puntos. (Nota: $\lfloor n \rfloor$ denota el mayor número entero menor o igual a $n$ es decir, el resultado del "redondeo $n$ abajo").

Tenga en cuenta que si $r < 1$ , entonces en el paso 1 estás calculando el arcoseno de un número menor que $-1$ lo cual es imposible. Esto corresponde a la noción de que en un círculo más pequeño que el círculo unitario, no se pueden encontrar ni siquiera dos puntos cuya distancia sea al menos $2$ .

Answer 2

Dos puntos del círculo que son 2 unidades forman un segmento de línea que subtiende un ángulo de $2\sin^{-1}\frac1r$ radianes en el centro (al bisecar el ángulo se obtienen dos triángulos rectángulos con 1 opuesto e hipotenusa $r$ ). Por lo tanto, el número de puntos que se pueden poner es $$\left\lfloor\frac{2\pi}{2\sin^{-1}\frac1r}\right\rfloor=\left\lfloor\frac\pi{\sin^{-1}\frac1r}\right\rfloor$$ donde la función floor se utiliza para devolver un número entero.