Si $E_P(X) \in $ span( $E_{P_i}(X)$ ), $1 \leq i \leq n$ para todos los integrables $X$ , entonces es $P$ una combinación convexa de los $P_i$ ?

Question

Dejemos que $(\Omega, \mathfrak{F}, P)$ sea un espacio de probabilidad y sea $R = \{P_1,...,P_n \}$ sea un conjunto finito de medidas de probabilidad sobre $(\Omega, \mathfrak{F})$ cada uno de los cuales es absolutamente continuo con respecto a $P$ . Me pregunto si el siguiente resultado es válido.

Supongamos que para todas las variables aleatorias $X$ que son integrables con respecto a $P$ y $P' \in R$ tenemos que $E_P(X)$ se encuentra en el intervalo abarcado por $E_{P_i}(X)$ , $1 \leq i \leq n$ . Entonces $P$ es una combinación convexa de los miembros de $R$ .

En este documento el resultado se muestra para el caso en que $\Omega$ es finito. La prueba se basa en la identificación de variables aleatorias y medidas de probabilidad con miembros de $\mathbb{R}^n$ y procede apelando a algunos hechos básicos sobre los conjuntos convexos. ¿Cómo se podría plantear este problema para conjuntos generales? $(\Omega, \mathfrak{F})$ ?

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Adenda. Esto es lo que se me ha ocurrido. Agradecería que me dieran su opinión.

Comenzamos con un espacio general medible $(\Omega, \mathfrak{F})$ y el espacio $V$ de todas las variables aleatorias acotadas en $(\Omega, \mathfrak{F})$ . El espacio $V$ es un espacio vectorial (real) con respecto a la suma puntual y la multiplicación escalar, y si equipamos $V$ con el $\sup$ -se convierte en un espacio de Banach (es completo). Ahora identificamos las medidas de probabilidad $P$ en $(\Omega, \mathfrak{F})$ con funciones lineales continuas en el espacio dual $V'$ a través de la incrustación $P \mapsto \int (\cdot) dP$ . Por lo tanto, para $X \in V$ tenemos $P(X) = E_P(X)$ , donde $E_P$ es el valor esperado con respecto a $P$ . Para considerar conjuntos de medidas de probabilidad con ciertas propiedades topológicas, dotamos $V'$ con su topología débil*, que es la topología generada por los funcionales de evaluación $\lambda_X$ en el doblete $(V')'$ definido por $\lambda_X(\phi) = \phi(X)$ , donde $X \in V$ y $\phi \in V'$ . Es decir, la topología débil* es la topología más débil que hace que los funcionales de evaluación sean continuos y, además, un funcional lineal $\lambda$ en $V'$ es continua si y sólo si es un funcional de evaluación. Ahora, $V'$ es un espacio vectorial topológico localmente convexo en la topología débil*, y el conjunto de medidas de probabilidad sobre $(\Omega, \mathfrak{F})$ es débil*-compacto en $V'$ . De ello se deduce que cualquier conjunto débil*-cerrado de medidas de probabilidad es débil*-compacto. Esto es sólo mi intento de resumir algunos hechos que aprendí estudiando el capítulo 14 de la obra de Royden Análisis real junto con la idea de que las medidas de probabilidad pueden identificarse con funcionales lineales continuas en $V'$ (También he consultado el capítulo 3 y los apéndices D y E de la obra de Walley Razonamiento estadístico con probabilidades imprecisas ). Si lo que he dicho hasta ahora es aceptable, entonces creo que he respondido a mi pregunta aquí .

Teorema Dejemos que $(\Omega, \mathfrak{F}, P)$ sea un espacio de probabilidad arbitrario y $R$ un conjunto arbitrario de medidas de probabilidad sobre $(\Omega, \mathfrak{F})$ con $|R| \geq 2$ . Entonces, las dos afirmaciones siguientes son equivalentes. (a) $E_P(X)$ se encuentra estrictamente dentro del intervalo abarcado por $\{E_{P'}(X) \}_{P' \in R}$ es decir, $$\inf_{P' \in R} \{E_{P'}(X) \} < E_P(X) < \sup_{P' \in R} \{E_{P'}(X) \}.$$ (b) $P$ está en el interior del recinto débil* convexo de $R$ es decir $P \in \text{int}(\text{co}R).$

Prueba. Observamos que el cierre débil* convexo $\text{co}R$ de $R$ es un subconjunto convexo y débilmente* compacto de $V'$ con interior no vacío, porque $|R| \geq 2$ . Comenzamos suponiendo que $P \notin \text{int}(\text{co}R)$ . Por un resultado estándar de hiperplano de separación, existe un funcional lineal continuo $\lambda$ en $V'$ y $\alpha \in \mathbb{R}$ tal que $\lambda(P) \geq \alpha$ y $\lambda(P') \leq \alpha$ para todos $P' \in \text{co}R$ . Pero los funcionales lineales continuos en $V'$ consisten en todos y sólo los funcionales de evaluación. Así, para algunos $X \in V$ tenemos $\lambda = \lambda_X$ y por lo tanto $\lambda_X(P) \geq \alpha \geq \lambda_X(P')$ para todos $P' \in \text{co}R$ . Pero por la definición del funcional de evaluación, esto implica \begin{equation}\label{eqn: spanning violation} E_P(X)=P(X) \geq \alpha \geq P'(X) = E_{P'}(X) \end{equation} para todos $P' \in \text{co}R$ . Por lo tanto, $E_P(X) \geq \sup_{P' \in \text{co}R}\{E_{P'}(X) \} \geq \sup_{P' \in R}\{E_{P'}(X) \}$ y (a) se viola.

A la inversa, supongamos que $P \in \text{int}(\text{co}R)$ . Entonces existe una colección $\{P_i \}_{i=1}^n$ , $n \geq 2$ de medidas de probabilidad en $R$ tal que $P = \sum_{i=1}^n \beta_i P_i$ con $\beta_i > 0$ y $\sum_{i=1}^n \beta_i = 1$ (No estoy seguro de poder justificar este paso; se agradecerán las sugerencias al respecto). Para una variable aleatoria arbitraria $X \in V$ tenemos \begin{align*} E_P(X) &= \int X dP = \int X d(\sum_{i=1}^n \beta_i P_i) \\ &= \sum_{i=1}^n \beta_i \int X dP_i = \sum_{i=1}^n \beta_i E_{P_i}(X). \end{align*} Observamos que este cálculo se basa en el hecho de que el $P_i$ son medidas finitas. Ahora vemos que $E_P(X)$ es una combinación convexa estricta del $E_{P_i}(X)$ por lo que (a) se cumple.

Answer 1

Creo que se puede reducir el primer problema al caso de dimensión finita de la siguiente manera:

Dejemos que $\Delta_n =\{\lambda\in {\Bbb R}^n : \sum_{i=1}^n \lambda_i=1, \lambda_1,...,\lambda_n\geq 0\}$

Para $A\in \mathfrak{F}$ definir $Z(A)=\{ \lambda \in \Delta_n^n: P(A)=\sum_{i=1}^n \lambda_i P_i(A)\}$

Entonces, por hipótesis, cada $Z(A)$ es un subconjunto no vacío y compacto de $\Delta_n$ . Si $Z(\mathfrak{F})=\bigcap_{A\in \mathfrak{F}} Z(A)$ es no vacía, entonces cualquier $\lambda\in Z(\mathfrak{F})$ permite escribir $P(A)=\sum_i \lambda_i P_i(A)$ en conjuntos medibles, lo cual es suficiente.

Supongamos, en cambio, que $Z(\mathfrak{F})=\emptyset$ entonces por el principio de intersección finita para conjuntos compactos debe haber un número finito de conjuntos $A_1,...,A_n$ para lo cual $Z(A_1)\cap ...\cap Z(A_n)=\emptyset$ . Sea ${\cal B}=\sigma(A_1,...,A_n)$ sea el (finito) $\sigma$ generada por esta colección finita y considerar la restricción de $P$ y el $P_i$ 's a ${\cal B}$ . Se trata entonces de medidas de probabilidad sobre un espacio finito que satisfarán las mismas hipótesis pero $Z({\cal B})=\emptyset$ que aparentemente está en contradicción con el documento que citas.

En cuanto al problema más general, dejemos que $E$ denotan el espacio vectorial de medidas con signo en $(\Omega, \mathfrak{F})$ con la norma de variación y $\Lambda=\overline{B}_1(L^\infty(\Omega, \mathfrak{F}))$ es decir el conjunto de mapas medibles: $X:\Omega \rightarrow [-1,1]$ . La norma de variación de $\mu\in E$ es entonces $\|\mu\|= \sup_{\Lambda\in \Lambda} |\mu(X)|$ demostrando que $\Lambda$ separa los puntos en $E$ . El conjunto $\Lambda$ da lugar a una topología débil en $E$ . Dado $\mu\in E$ , $X_1,...,X_m\in \Lambda$ , $\epsilon>0$ fijamos $$ \{ \nu \in E: |\nu(X_i)-\mu(X_i)| < \epsilon, i=1,...,m\}$$ Entonces los conjuntos de este tipo forman una base (vecindad de $\mu$ ) para el $\Lambda$ -topología en $E$ . En general es más débil que la topología débil generada por el dual $E'$ desde $\Lambda$ puede verse como un subconjunto de $E'$ .

Ahora dejemos que $M\subset E$ sea el subconjunto de medidas de probabilidad y considere un subconjunto $R\subset M$ y $\mu\in M$ . Establecemos $S=co(R)$ el casco convexo cerrado de casco convexo cerrado de $R$ , cerrado por el $\Lambda$ topología.

Si $\mu\notin S$ entonces por definición existe una vecindad abierta $B$ de $\mu$ que no se cruza con $S$ . Así, $|\nu(X_i)-\mu(X_i)|<\epsilon$ , $i=1,...,m$ . Pero por una dimensión finita (véase, por ejemplo, S Lang: Real and Functional Analysis, Thm 1.2, p. 85) hay hay constantes reales $c_1,...,c_m$ tal que $X=c_1X_1+ \ldots c_m X_m$ separa $\mu$ de $S$ En otras palabras, hay es $a\in {\Bbb R}$ s.t.

$$ \mu(X) > a \geq \nu(X)$$ por cada $\nu\in S$ . En su caso, la condición que impone a $P$ nos dice que lo anterior no puede ocurrir, por lo que $P\in co(R)$ . (Esto sigue más o menos la misma línea de argumentos que tú das).

Ahora, las implicaciones de esto no son tan obvias. En general, no se puede no se puede esperar $P$ sea una combinación lineal finita de elementos en $R$ . Si, por ejemplo, toma $P_1,P_2,...$ para ser una secuencia en $M$ con soporte disjunto apoyo, entonces $P = \sum_k 2^{-k} P_k$ está en el casco convexo cerrado pero no está generada finitamente. Peor aún, si $R$ es incontable, no se puede en general esperar escribir $P$ como una combinación convexa contable de elementos en $R$ .

El Teorema de Choquet establece que si $S$ es un subconjunto convexo compacto metrizable subconjunto de un espacio vectorial Hausdorff topol localmente compacto y $P\in S$ entonces existe una medida apoyada en los puntos extremos de $S$ (que aquí debería ser un subconjunto de $R$ al parecer) que representa $P$ (por lo que puede escribir $P$ como una "integral" sobre $R$ ). Ahora, lo que hay que metrizar es el $\Lambda$ topología y esto no es posible en nuestra configuración general. (Lo sería si $\Omega$ era Hausdorff compacto y nos fijamos en las medidas de Borel). Creo que en la configuración general no se puede obtener más información sobre cómo descomponer $P$ con respecto a $R$ .