Regla general para decir que $(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z})^{\times}$ es cíclico

Question

Definición: $(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z})^{\times} = \{\bar{a} \in \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}: \gcd(a, n) = 1\}$ .

Sé que $(\mathbb{Z}/9 \mathbb{Z})^{\times}$ y $(\mathbb{Z}/6 \mathbb{Z}))^{\times}$ son cíclicos porque $\langle\bar{5}\rangle = (\mathbb{Z}/9 \mathbb{Z})^{\times}$ y $ \langle\bar{2}\rangle = (\mathbb{Z}/6 \mathbb{Z})^{\times}$ pero $(\mathbb{Z}/8 \mathbb{Z})^{\times}$ no es cíclico. ¿Existe una regla general que diga si $(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z})^{\times}$ ¿es cíclico?

Answer 1

Sí: $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ es cíclico si y sólo si $n$ es una potencia impar-prime, o $2p^n$ con impar prime $p$ .

Una dirección de la prueba es relativamente fácil, ya que $\mathbb Z/p^mq^n\mathbb Z\approx \mathbb Z/p^m\mathbb Z \oplus \mathbb Z/q^n\mathbb Z$ ... haciendo difícil que el grupo multiplicativo sea cíclico.

El caso de la potencia principal es ligeramente más sutil, y el factor de $2$ aspecto también.

EDIT: y, como me recordó @lhf, para $m=1,2,4$ ¡! :)