Supongamos que $X$ es un espacio de Banach. Denotemos por $\kappa_X$ la incrustación canónica de $X$ en $X^{**}$ . ¿Siempre tenemos $$(\kappa_X)^{**} = \kappa_{X^{**}}? $$
Respuesta
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No. No es que eso tenga ningún sentido para mí, pero no. De hecho resulta que $\kappa_{X^{**}}=\kappa_X^{**}$ si y sólo si $X$ es reflexivo.
De hecho la verdad detrás de mi sentimiento erróneo de que los dos deben ser iguales en general es esto: $$\kappa_{X^{**}}\kappa_X=\kappa_X^{**}\kappa_X.$$
Pruebas: Escribir $x\in X$ , $x^*\in X^*$ etc..:
Si se desglosan dos definiciones se ve que la cuestión es si $$x^{***}(x^{**})=x^{**}(\kappa_X^*x^{***}).$$
Si $X$ no es reflexivo, elija $x^{***}\ne0$ así que $x^{***}(\kappa_X x)=0$ para todos $x$ . Eso dice precisamente que $\kappa_X^*x^{***}=0$ . Pero existe $x^{**}$ con $x^{***}(x^{**})\ne0$ .
Por supuesto que debe ser cierto si $X$ es reflexivo. Pero pensé que debía ser cierto en general, y escribir una prueba me llevó unos minutos, así que aquí está:
La prueba de que $\kappa_{X^{**}}\kappa_X=\kappa_X^{**}\kappa_X$ en general es sólo desempacar las definiciones:
$$\kappa_{X^{**}}\kappa_X(x)(x^{***})=x^{***}(\kappa_X(x)),$$ mientras que
$$\kappa_X^{**}\kappa_X(x)(x^{***})=\kappa_X(x)(\kappa_X^*(x^{***})) =\kappa_X^*(x^{***})(x)=x^{***}(\kappa_X(x)).$$
Y ahora si $X$ es reflexivo entonces $\kappa_X$ es un isomorfismo, por lo que se deduce que $\kappa_{X^{**}}=\kappa_X^{**}$ .
Si no hay errores tipográficos aquí es un maldito milagro.
O hacer esto:
Ejercicio Si $X$ es reflexivo o no, $\kappa_X^*\kappa_{X^*}x^*=x^*$ . Demuestre que esto implica $\kappa_{X^{**}}=\kappa_X^{**}$ si $X$ es reflexivo.
