¿Es posible dividir los enteros positivos en un número infinito de disjuntos conjuntos grandes ?
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Stephan Aßmus
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Similar, un squarefree número es $1,2,3,5,6,7,10,11,13,15,\ldots$ así que deja que tu distintos conjuntos de ser $m n^2$ para squarefree $m.$ Estos conjuntos son llamados squareclasses, me gusta escribir como una sola palabra. La relación de equivalencia es que dos números son equivalentes si y sólo si su relación es un racional de la plaza. Como estamos tratando con números enteros, que es lo mismo que decir que dos números son equivalentes si y sólo si su producto es un cuadrado.
Esta sencilla idea es la base de una buena cantidad de enteros coeficiente de forma cuadrática de la teoría. En particular, hablamos de squareclasses en el $p$-ádico números de $\mathbb Q_p$ e las $p$-ádico enteros $\mathbb Z_p.$ Véase, por ejemplo, Cassels, Racional Formas Cuadráticas.
Matt
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Unwisdom
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Entiendo que la pregunta ya ha sido contestada, y respondió bien, pero aquí es otra muy rápido, pero ligeramente diferentes argumento:
La prueba usual de que $\sum \frac{1}{n}$ diverge utiliza el hecho de que hay un número infinito de distintos finito bloques de números cuyo recíprocos se suman a más de $\frac{1}{2}$: $$\{1\} , \{2,3\}, \{4,5,6,7\}, \{8,9,10,\ldots,15\}, \ldots$$ Llamar a estos bloques de $B_{1}, B_{2},\ldots$
Es obvio que cualquier conjunto de enteros que contiene un número infinito de estos bloques deben ser un conjunto de gran tamaño. Así, sólo la partición de $\mathbb{N}$ en un número infinito de conjuntos infinitos $\{A_{i}\vert i\in \mathbb{N}\}$, y definir el gran conjunto $L_{i}$ $$L_{i}=\bigcup_{x\in A_{i}}B_{i}.$$
