Caballeros y mentirosos en la isla

Question

Hay mentirosos y caballeros en alguna isla (los mentirosos siempre mienten y los caballeros siempre dicen la verdad). $500$ las personas fueron construidas en forma de rectángulo $20\times 25$ ( $20$ personas de la columna y $25$ en fila). Durante la encuesta, todos declararon: 1) Si no me cuentas, hay más caballeros en mi columna que mentirosos. 2) Si no me cuentas, hay más mentirosos en mi fila que caballeros. Calcula el número de caballeros en el rectángulo.

He pasado algún tiempo para encontrar alguna aproximación pero sin resultados. ¿Puede alguien explicar la solución de este problema?

Answer 1

Supongamos que en una columna hay $k$ caballeros y $20-k$ mentirosos. Si $k\geq 1$ debe ser cierto que $k-1>20-k$ Por lo tanto $k\geq 11$ . Si en tal columna hay un mentiroso, debe ser cierto que $k\leq 19-k$ Por lo tanto, en cualquier columna no puede haber un mentiroso y un caballero al mismo tiempo: cada columna está formada sólo por caballeros o sólo por mentirosos.

Supongamos que en una fila hay $k$ caballeros y $25-k$ mentirosos. Si $k\geq 1$ debe ser cierto que $25-k>k-1$ Por lo tanto $k\leq 12$ . En particular, una fila no puede ser hecha sólo por caballeros, y en cada fila hay un mentiroso. Esto nos da que $24-k\leq k$ Por lo tanto $k\geq 12$ .

Conclusión: hay $12$ columnas de caballeros y $13$ columnas de mentirosos.