¿Es siempre cierto que $\lim_{x\to\infty} [f(x)+c_1]/[g(x)+c_2]= \lim_{x\to\infty}f(x)/g(x)$ ?

Question

¿Es cierto que $$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{f(x)+c_1}{g(x)+c_2}= \lim\limits_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}?$$ Si es así, ¿puede probarlo? Gracias.

Answer 1

No. Buen ejemplo:

$$ \frac{1}{e^{-x}}\quad \text{vs.} \quad \frac{1}{e^{-x}+1} $$ Piensa en lo que ocurre cuando $x\rightarrow\infty$ .

Answer 2

Piénsalo así: la igualdad es verdadera sólo cuando $f(x), g(x)$ "lavar" completamente las constantes aditivas en el infinito. Para ser más precisos, supongamos que $f(x), g(x) \rightarrow \infty$ . Entonces $$ \frac{f(x) + c_1}{g(x) + c_2} = \frac{f(x)}{g(x)} \frac{1 + c_1/f(x)}{1 + c_2 / g(x)} $$ En el límite como $x \rightarrow \infty$ el factor de la derecha llega a 1, por lo que la cantidad de la izquierda se aproxima al mismo límite que $f(x) / g(x)$ .

Answer 3

Definitivamente no. Supongamos que $f$ y $g$ tienen límites en el infinito y que su relación es distinta de cero, entonces si $\lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = -c1$ entonces la igualdad se rompe. Un argumento similar funciona para $g$ .

Answer 4

Para un contraejemplo más sencillo, compruebe $f(x) = 0, g(x) = 1$ .