Maximizar y minimizar $f(x,y)$ en $x^2+y^2\leqslant 9$

Question

Encuentre el mínimo y el máximo absoluto de $f(x,y):=x^2+y^2-8y+3$ en el disco $x^2+y^2\leqslant 9$ .

Sé cuál es la respuesta y cómo obtenerla. Lo que no entiendo es por qué podemos suponer que los extremos ocurren en el límite del disco.

Primero miré $Jf(x,y)=\mathbf{0}$ que se produce si $(x,y)=(0,4)$ , que está fuera del disco.

Se puede entonces utilizar el Teorema del Multiplicador de Lagrange con la restricción $x^2+y^2=9$ para obtener las respuestas correctas. Pero no entiendo cómo sabemos que esta debe ser la restricción. ¿Cómo podemos saber con certeza que el mínimo y el máximo no se dan en el interior del disco?

Answer 1

Se puede utilizar un argumento muy elemental para argumentar que el máximo y el mínimo deben ocurrir en el límite. Supongamos, si es posible, que el máximo se produce en un punto $(a,b)$ con $a^{2}+b^{2} <9$ . Aumentando/disminuyendo $a$ ligeramente puede permanecer dentro del disco pero hacer el primer término en $f$ más grande. Esta contradicción demuestra que el máximo se produce en el límite. Lo mismo ocurre con el mínimo.

Answer 2

Pensando en forma geométrica, observe que $f(x,y) = x^2 + (y-4)^2 - 13$ . Así que para minimizar o maximizar $f(x,y)$ en una región que desea minimizar o maximizar la distancia del punto $P=(0,4)$ .

Los puntos del disco $x^2+y^2 \le 9$ a las distancias mínima y máxima de $P$ estará obviamente en el límite del disco - de hecho, estos puntos son $(0,3)$ y $(0,-3)$ .

Answer 3

Un máximo/mínimo local para $f$ en una región abierta es un punto crítico, es decir su gradiente $\nabla f$ desaparece en ese punto. Sin embargo, el gradiente de $\nabla f=2(x,y-4)$ por lo que sólo se desvanece en $(0,4)$ que se encuentra fuera del disco $x^2+y^2\le9$ . Por lo tanto, si existe un mínimo/máximo, debe ocurrir en el límite del disco.

Answer 4

Desde $y\geq-3$ obtenemos: $$x^2+y^2-8y+3\leq9-8\cdot(-3)+3=36.$$ La igualdad se produce para $x=0$ y $y=-3,$ que dice que tenemos un valor máximo.

Además, como $y\leq3$ obtenemos: $$x^2+y^2-8y+3=y^2-8y+3=-12+x^2+(3-y)(5-y)\geq-12.$$ La igualdad se produce para $x=0$ y $y=3$ , que dice que tenemos un valor mínimo.