Hay diferentes maneras de hacerlo, incluso dentro del ámbito del álgebra lineal. Como la cantidad total de líquido no cambia y sólo hay dos tarros a lo largo del experimento, reconozco un Proceso de Markov. Hay dos estados, $A$ y $B$ . Cada marco temporal, hay $k$ posibilidad de que una molécula se transfiera de un frasco a otro y así $1-k$ posibilidad de que el "líquido" se quede atrás. La matriz de transición es entonces $M=\pmatrix{1-k&k\\k&1-k}$ . No sé si ya has tratado con los valores propios, pero típicamente en un proceso de Markov cerrado, el valor propio dominante es $1$ y, por lo tanto, un vector propio correspondiente contiene la información sobre el vector de estado estacionario. Así que aquí vamos: $\pmatrix{1-k&k\\k&1-k}\pmatrix{x\\y}=1\pmatrix{x\\y}$ . La elaboración de este sistema da lugar a dos ecuaciones: $$(1-k)x+ky=x$$ $$kx+(1-k)y=y$$ Cuando se resuelven estos paréntesis, se ve que esas ecuaciones son idénticas (como debe ser, ¿por qué?), por lo que es $y=x$ y por lo tanto un vector propio que encontré fácilmente: $\pmatrix{1\\1}$ . Cualquier distribución del estado inicial (los líquidos en la jarra $A$ y $B$ al comenzar el experimento) podría representarse mediante un vector $\pmatrix{a\\b}$ . Podemos expresar este vector como una combinación lineal de los vectores propios de $M$ , digamos que $\pmatrix{a\\b}=pv_1+qv_2$ con $p,q$ algunos escalares. (¿Has cubierto el hecho de que los vectores propios son típicamente independientes de la línea y por lo tanto forman una base?) Cuando realizamos muchas veces la matriz $M$ en este vector de Estado Inicial, entonces obtenemos: $M^\infty$$ \N - Matriz a. $=$ M^\infty $$(pv_1+qv_2)$ . Pero $M^{\infty}v_1=\lambda_1^{\infty}v_1$ y $M^{\infty}v_2=\lambda_2^{\infty}v_1$ . Desde $\lambda_1$ se supone que el valor propio dominante, su vector propio finalmente "sobrevivirá". Dado que las entradas de este vector propio son iguales, como se estableció anteriormente, las mezclas se distribuirán "igualmente". Nota: Me he saltado algo de material de álgebra lineal aquí y allá, pero si estás tomando un curso en este campo, deberías reconocerlo de la clase. Espero que esto ayude...
