Demostrar que si $\ker(A) = \ker(A^2 )$ entonces $ \ker(A^k ) = \ker(A^{k+1})$ para todos $k ≥ 1$ .

Question

Dejemos que $b$ sea un vector tal que $Ab =0$ y $b$ es ese núcleo. Llamemos a ese núcleo $A$ . Entonces $b$ también es lo mismo que $\ker(A^2)$ .

Se agradecería cualquier pista sobre cómo seguir adelante... ¿He hecho esto bien?

Answer 1

Está claro que $\operatorname{ker}(A^k)\subseteq \operatorname{ker}(A^{k+1})$ incondicionalmente, ya que si $x\in\operatorname{ker}(A^k)$ entonces $A^kx=0$ Así que $A^{k+1}x=A(A^{k}x)=A0=0$ . Es decir, $x\in\operatorname{ker}(A^{k+1})$ .

Supongamos ahora que $\operatorname{ker}(A)=\operatorname{ker}(A^2)$ . El objetivo es demostrar que $\operatorname{ker}(A^{k+1})\subseteq \operatorname{ker}(A^{k})$ . Si $x\in\operatorname{ker}(A^{k+1})$ entonces $A^{k+1}x=A^2(A^{k-1}x)=0$ . Por lo tanto, $A^{k-1}x\in\operatorname{ker}(A^2)=\operatorname{ker}(A)$ para que $A(A^{k-1} x)=0$ . Pero esto significa que $A^k x=0$ Así que $x\in\operatorname{ker}(A^k)$ . En consecuencia, $\operatorname{ker}(A^{k+1})\subseteq \operatorname{ker}(A^{k})$ , según se desee.

Answer 2

$\ker A = \ker A^2$ equivale a $Ax = 0$ si $A^2 x = 0$ .

Sustitución de $x$ por $A^{k-1} x$ obtenemos $AA^{k-1}x = 0$ si $A^2A^{k-1} x = 0$ lo que equivale a $\ker A^k = \ker A^{k+1}$ .