¿Existen funciones que no puedan aproximarse linealmente/localmente?

Question

Siempre hablamos de la derivada como la "mejor aproximación lineal". Y también hablamos de linealizar. Sin embargo, ¿qué significa esto realmente? Para una función dada $F$ ¿qué condiciones sobre ella hacen que la afirmación "la derivada es la mejor aproximación lineal a $F$ "¿Es cierto?

¿Hay funciones que no puedan ser "localmente lineales" o localmente aproximadas? Si es así, ¿son sólo patológicas en su mayoría, y no tenemos ningún interés en ellas (por ejemplo, no aparecen realmente en las matemáticas)?

¿Existen funciones u objetos matemáticos importantes que no se someten bien a las herramientas de análisis y aproximación? (Entiendo que es una pregunta muy amplia y vaga.) Es decir, puede haber objetos matemáticos que no sepamos si son susceptibles de tales esfuerzos, pero ¿hay objetos (importantes) de los que estemos seguros que definitivamente no lo son? ¿Algo así como el álgebra abstracta/la teoría de Galois mostraron las limitaciones de usar radicales, dando lugar a la noción de irresolubilidad?

Answer 1

Sin embargo, ¿qué significa esto realmente? Para una función F dada, ¿qué condiciones condiciones sobre ella hacen que la afirmación "la derivada es la mejor aproximación aproximación lineal a F" sea cierta?

Es una verdad incondicional. Está bien explicado en el enlace del comentario.

¿Hay funciones que no puedan ser "localmente lineales" o localmente aproximada?

Sí, muchos.

Si es así, ¿son sólo patológicos en su mayoría, y no tenemos ningún interés en ellos (por ejemplo, no aparecen realmente en las matemáticas)?

No, aparecen muchas y muchas veces en matemáticas, física, en todas partes.

¿Hay funciones importantes u objetos matemáticos que no se se someten bien a las herramientas de análisis y aproximación?

Basta con considerar una función de norma euclidiana : $f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$ . Esto no es diferenciable en el origen. (es decir, no se puede aproximar linealmente) Sin esto, ni siquiera se podrá hablar de cuál es la distancia entre dos puntos dados. Otros ejemplos no triviales son la función escalonada heaviside (que ni siquiera es continua) y la función dirac-delta (que ni siquiera es una función). Si te interesa, busca la teoría de la distribución).