¿Clases de equivalencia de la relación de semejanza en matrices complejas de 2x2?

Question

Dejemos que $\mathbb{K}$ sea un campo. Dos matrices $A,B \in \mathbb{K}^{n \times n} $ se dice que son similares si existe una matriz invertible $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ tal que $A = S^{-1}BS$ . Se puede demostrar que esta relación es una relación de equivalencia.

Mi pregunta es: Cuántas clases de equivalencia de la relación de semejanza en el conjunto de matrices complejas de 2x2, $\mathbb{C}^{n \times n}$ ¿existen? ¿Y cuáles son?

Mi idea sería utilizar el hecho de que las matrices son similares si y sólo si tienen la misma forma normal de Jordan (hasta una permutación de los bloques de Jordan). ¿O hay alguna otra forma?

Answer 1

Como has dicho, una clase de similitud de una matriz $A \in \mathbb C^{n \times n}$ viene dada por su Forma normal de Jordania hasta una permutación de los bloques de Jordan.

Como la cardinalidad de los bloques normales de Jordan es la del continuo $\mathfrak c$ (es decir, la de $\mathbb C$ ), la cardinalidad que se busca es $\mathfrak c$ .