Dejemos que $E = \{ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$ . Determinar los conjuntos de puntos interiores, de acumulación, aislados y de frontera

Question

Espero que esta pregunta sea apropiada para este foro. Si no lo es, por favor, hágamelo saber. Me gustaría saber si el justificaciones (pruebas) de la solución son correctas.

Dejemos que $E = \{1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$ . También $\sup E = 1$ con $1 \in E$ y $\inf E = 0$ así que $E \subset (0,1]$ .

1. Conjunto de puntos interiores de E: sea $c > 0, c \in \mathbb{R}$ . Tome cualquier $x \in E$ . Considere el intervalo $(x-c,x+c)$ ya que ese intervalo contiene números racionales e irracionales entonces $(x-c,x+c) \not\subset E$ por lo que x no es punto interior de E. Por lo tanto no hay puntos interiores en E y el conjunto de puntos interiores de E es el conjunto vacío $\phi$ .

2. Conjunto de puntos de acumulación de E: para cada $c > 0, c \in \mathbb{R}$ , tome cualquier $x \in (0,1]$ . Considere el intervalo $(x-c,x+c)$ ya que ese intervalo contiene números racionales e irracionales y $E \subset \mathbb{Q}$ entonces $(x-c,x+c)\cap E$ contiene infinitos puntos de E. Por lo tanto el conjunto de puntos de acumulación de E es (0,1].

3. Conjunto de puntos aislados de E: sea $c > 0, c \in \mathbb{R}$ . Tome cualquier $x \in E$ . Considere el intervalo $(x-c,x+c)$ ya que ese intervalo contiene números racionales e irracionales entonces $(x-c,x+c) \cap E \subset E \neq \{ x \}$ por lo que x no es un punto aislado de E. Por lo tanto no hay puntos aislados en E y el conjunto de puntos aislados de E es el conjunto vacío $\phi$ .

4. Conjunto de puntos límite de E: Para cada $c > 0, c \in \mathbb{R}$ entonces cada intervalo $(0-c,0+c)$ tiene al menos un punto fuera de E y al menos un punto dentro de E. También todo intervalo $(1-c,1+c)$ tiene al menos un punto fuera de E y al menos un punto dentro de E. En caso contrario, para cualquier $x \in E$ no todos los intervalos $(x-c,x+c)$ tiene al menos un punto fuera de E y al menos un punto dentro de E. Por lo tanto, el conjunto de puntos límite de E es {0,1}.

Nota: La referencia para las definiciones de puntos interiores, de acumulación, aislados y límite es "Elementary Real Analysis" de B. Thomson, J.B. Brucker y A.M. Bruckner, Sec. 4.2, p. 165.

Gracias de antemano por los comentarios.

Answer 1

Es correcto decir que $(x - c, x + c)$ contiene tanto números racionales como irracionales, y es correcto decir que $E \subseteq \mathbb{Q}$ pero no es correcto decir que $(x - c, x + c)$ contiene algún miembro de $E$ como consecuencia. Como ejemplo sencillo, dejemos que $x = 3/4$ y $c = 1/8$ el intervalo $(5/8,7/8)$ no contiene ningún miembro de $E$ . Es importante destacar que sólo porque todos los miembros de $E$ están en $\mathbb{Q}$ no significa que los miembros de $\mathbb{Q}$ en $(x - c, x + c)$ resultan ser los mismos que están en $E$ ¡!

Este error afecta a sus respuestas en 2, 3 y 4. Para que empieces a solucionarlo, aquí tienes una sugerencia sobre la 2.

Dejemos que $1/2 < x < 1$ . El intervalo $(1/2, 1)$ es un intervalo abierto que contiene $x$ que no incluye a ningún miembro de $E$ (ya que todos los miembros de $E$ que no sea $1$ y $1/2$ son inferiores a $1/2$ ), por lo que $x$ no es un punto de acumulación de $E$ .

Te dejo, por ahora, que apliques esta línea de pensamiento de forma más general.