Demostración de la definición positiva en la proyección del elipsoide

Question

Me gustaría demostrar que la proyección sobre el $xoy$ plano del elipsoide centrado dado por el definición $$\mathbf{x'}\mathbf{A}\mathbf{x}=1$$ donde tenemos una definida positiva $$\mathbf{A}= \left[\begin{array}{rrr} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \\ \end{array} \right] $$ es una elipse. Sé que esto se ha tratado en posts como este Sin embargo, las respuestas terminan mostrando que la figura que necesitamos es la sombra de una sección elipsoidal (por un plano). Luego se hacen dos afirmaciones que sé por intuición que son verdaderas, pero que no se demuestran, a saber.

1. Una sección elipsoidal es una elipse
2. La sombra de una elipse es una elipse.

¿Hay alguna manera de demostrar, a partir de la definición en el espacio 2D, que es efectivamente una elipse en 2D, el conjunto de todas las $\mathbf{x}=(x,y)$ Satisfaciendo a $$\mathbf{(x-v)'}\mathbf{B}\mathbf{(x-v)}=1$$ donde $B$ es una definición positiva $2 \times 2$ matriz y $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$ es el centro de la elipse?

Esto es lo que tengo hasta ahora. Similar a Andrew Hwang's respuesta y El de Christian Blatter respuesta, necesito que el componente z de $\nabla f$ debería desaparecer en la curva que busco, donde $f(\mathbf{x})=\mathbf{x'}\mathbf{A}\mathbf{x}-1$ . Resolviendo esto junto con la ecuación original del elipsoide, obtengo que la ecuación de la curva que busco es $$\mathbf{x'}\mathbf{B}\mathbf{x}=1$$ donde $$\mathbf{B}= \left[\begin{array}{rr} (a-\frac{e^2}{c}) & (d-\frac{ef}{c}) \\ (d-\frac{ef}{c}) & (b-\frac{f^2}{c}) \\ \end{array} \right]$$ EDITADO: La matriz B tenía antes un error - el elemento fuera de diagonal se indicaba como $(\frac{d}{2}-\frac{ef}{c})$ en lugar de $(d-\frac{ef}{c})$ . Ya está arreglado. Mi La pregunta es ¿Cómo puedo demostrar que este $B$ es positiva definida? La información que tengo es la del criterio de Sylvester aplicado a $A$ Lo sé.

1. $a > 0$
2. $ab - d^2 >0$
3. $a(bc-f^2) + d(ef-cd) + e(df-eb) >0$

También sé que $b$ y $c$ tienen que ser positivos.

Nota: Como ejemplo del tipo de respuesta que intentaba: I fue capaz de demostrar para un problema diferente (que la sección del elipsoide por un plano $z=l$ es una elipse). Aquí la curva viene dada por $$\mathbf{(x-v)'}\mathbf{B}\mathbf{(x-v)}=1-cl^2+\frac{l^2(af^2+be^2)}{ab-d^2}+\frac{efl^2d^3}{(ab-d^2)^2}$$ con $\mathbf{v}=(\frac{l(fd-eb)}{ab-d^2},\frac{l(ed-af)}{ab-d^2})$ En este caso, $B$ fue $$\mathbf{B}= \left[\begin{array}{rr} a & d \\ d & b \\ \end{array} \right]$$ y sé que es definida positiva por el criterio de Sylvester aplicado al original $A$ matriz.

Answer 1

En primer lugar, una ilustración gráfica (programa Matlab que se ofrece a continuación).

Respuesta a la pregunta "¿Por qué es $B$ una matriz spd (simétrica positiva definida)?"

Es porque $\mathbf{B}$ puede escribirse, de forma muy natural, como un "complemento de Schur" ( http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppP.d/IFEM.AppP.pdf ) con respecto a la matriz $\mathbf{A}$ .

Particulemos la matriz $\mathbf{A}$ de la siguiente manera:

$$\tag{1}\mathbf{A}= \left(\begin{array}{rr|r} a & d & e \\ d & b & f \\ \hline e & f & c \\ \end{array} \right)$$

dando lugar al siguiente complemento de Schur:

$$\tag{2}\begin{pmatrix}a&d\\d&b\end{pmatrix}-\tfrac{1}{c}\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e&f\end{pmatrix}= \left(\begin{array}{rr} a-\frac{e^2}{c} & d-\frac{ef}{c} \\ d-\frac{ef}{c} & b-\frac{f^2}{c} \\ \end{array} \right)$$

que coincide con la matriz dada $\mathbf{B}$ .

Ahora utilice el hecho de que el complemento de Schur de una matriz spd es a su vez spd (véase "Propiedades" en ( https://en.wikipedia.org/wiki/Schur_complement )).

Edición: una visión complementaria (véase ( https://stats.stackexchange.com/q/30588/147896 )) es interpretar la matriz $\mathbf{A}$ como matriz de covarianza de una determinada variable aleatoria normal multivariante $(X,Y,Z) \in \mathbb{R^3}$ y $\mathbf{B}$ ( https://stats.stackexchange.com/q/30588/147896 ) como la matriz de covarianza asociada a la distribución marginal de $(X,Y) \in \mathbb{R^2}.$

Programa Matlab para la figura del "cigarro y anillo de humo":

clear all;close all;hold on;axis equal;
p=0.05;
[X, Y, Z] = meshgrid(-1:p:1, -1:p:1, -1.5:p:1.5);
r=1;a=3;b=1;c=2;d=2;e=1;f=2;
A=[a b d
   b c e
   d e f];% caution: the coefficients' order has been changed
isosurface(X, Y, Z, a*X.^2 + 2*b*X.*Y + c*Y.^2 +...
  f*Z.^2 + 2*d*X.*Z+ 2*e*Y.*Z, r^2);
camlight(60,0);shading flat;view([30,15]);
S=A(1:2,1:2)-(1/f)*A(1:2,3)*A(3,1:2);%Schur complement
u=S(1,1);v=S(2,2);w=S(2,1);
ff = @(x,y) (u*x.^2 + v*y.^2 + 2*w*x.*y-1);% please note the -1
ep=ezplot(ff);set(ep,'linecolor',[0.5,0.5,0.5],'linewidth',3);