Me doy cuenta de que esta pregunta es de hace más de un año, pero pensé en responderla de todos modos para consolidar mi propia comprensión.
El mapa de Weingarten está estrechamente relacionado con bastantes nociones. Una de ellas es que puede considerarse como la derivada del mapa de Gauss. Por ejemplo, si $ \mathbf{n} : M \to S^2$ es su mapa de Gauss, entonces la derivada $D\mathbf{n}(x)$ en cualquier punto $x \in M$ es un mapa lineal $$D\mathbf{n}(x) : T_x(M) \to T_{\mathbf{n}(x)}(S^2)$$
Pero el codominio en la última declaración es de nuevo $T_x(M)$ . Ahora bien, este $D\mathbf{n}(x)$ denotado como $S_x$ se denomina mapa de Weingarten en $x$ . Esto da para cualquier $Y,Z \in T_x(M)$ la forma bilineal $S_x(Y,Z) = \langle S_xY, Z \rangle $ .
Este último mapa es el que ayuda a definir el operador de forma de una superficie. Se trata de un operador lineal simétrico, como se puede observar fácilmente, lo que es bastante fácil de visualizar para las superficies bidimensionales en $\mathbb{E}^3$ ya que esto daría la variación del campo normal con respecto a un vector tangente en $x$ . En otras palabras, el mapa de Weingarten sirve para describir las propiedades extrínsecas de una superficie.
Hay más cosas que se pueden decir en cuanto a la relación con la segunda forma fundamental y también sobre la simetría. Y lo que es más importante, hay una buena generalización de esto para los Múltiples de Riemann. Pero espero que esto sea suficiente.
Edición: En cuanto a tu última pregunta, creo que se debe a las características de los operadores lineales y los multiplicadores de Lagrange. Pero no estoy seguro. Tal vez alguien más podría iluminar un poco más sobre ese tema.
