Dejemos que $T : \Bbb{R}^3 \Bbb{R}^3$ dado por $$T(x, y, z) = (x + 2y z, y + z, x + y 2z).$$
Usando Gauss-array y reduciendo el sistema de ecuaciones a la forma de escalones de fila, obtuve
$\{(3,-1,1)\}$ es una base para el núcleo y $\{(1,0,1),(2,1,-1)\}$ es la base de la imagen.
La matriz de $T$ es $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} $$ y la eliminación gaussiana da la forma escalonada reducida $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ Así, una base para la imagen es $\{(1,0,1),(2,1,1)\}$ (las dos primeras columnas de la matriz de $T$ ) y se obtiene una base para el núcleo a partir de las ecuaciones \begin{cases} x_1=3x_3\\ x_2=-x_3 \end{cases} por lo que obtenemos $\{(3,-1,1)\}$
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