Estoy tratando de encontrar una forma de describir cuerpos en movimiento sobre un universo einsteiniano. Mi pregunta es: ¿cómo es posible? ¿Existe alguna fórmula para describir la interacción gravitatoria en términos de curvatura del espacio? ¿O simplemente esto no existe todavía? Gracias
Respuesta
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Sí que la hay, aunque para ser particulares no se trata de la curvatura del espacio, sino de la curvatura del espaciotiempo.
Las ecuaciones con las que quieres empezar son las ecuaciones de campo de Einstein, que son $$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+Λg_{\mu\nu}=\frac{8πG}{c^4}T_{\mu\nu}$$
Se trata de un sistema de una decena de ecuaciones diferenciales empaquetadas en una sola. No es precisamente trivial de resolver la mayoría de las veces, pero se quiere resolver para $g_{\mu\nu}$ un objeto conocido como el tensor métrico. El tensor métrico es esencialmente una corrección del teorema de Pitágoras en espacios curvos.
Utilizando la métrica se puede obtener la forma completa de los símbolos de Christoffel, que hay que utilizar en algo llamado ecuación geodésica.
La ecuación geodésica es una ecuación que cuando se resuelve te dará el camino de la línea más recta en el espacio tiempo. Si puedes resolver esa trayectoria más recta, sabrás cómo se moverán los objetos en un campo gravitatorio, como en órbitas o en caída libre radial. En algunos casos, como el del espaciotiempo de Schwarschild, que es el que se utiliza a menudo para los agujeros negros no giratorios o los planetas que se mueven alrededor del sol, puedes resolver la trayectoria del movimiento simplemente a partir del teorema de Pitágoras corregido, utilizando algunas de las consideraciones extraídas de las ecuaciones geodésicas o de los objetos matemáticos conocidos como vectores de matanza.
La ecuación geodésica es ésta: $$\frac{d^{2}x^{\mu}}{d\lambda^2}+Γ^{\mu}_{\sigma\nu}\frac {dx^{\sigma}}{d\lambda}\frac {dx^{\nu}}{d\lambda} = 0 $$
Dónde $Γ^{\mu}_{\sigma\nu}$ son los símbolos de Cristoffel.
Este es el quid de la relatividad general, que las ecuaciones de campo de einstein describen cómo la masa y la energía curvan el espaciotiempo, y cómo ese espaciotiempo dice a los objetos en él cómo moverse, y cómo los objetos en ese espaciotiempo seguirán las trayectorias más rectas en él, lo que crea la gravedad.
EDIT: Otro comentarista aquí ha sugerido que explique algunos de los otros términos en las ecuaciones de campo, lo cual haré.
Empezaré dando la ecuación de los símbolos de Christoffel en términos de la métrica y sus derivadas.
La ecuación es: $$Γ^{\mu}_{\sigma\nu}=\frac{1}{2}g^{\mu\lambda}(g_{\lambda\sigma ,\nu}+g_{\lambda\nu , \sigma}-g_{\sigma\nu , \lambda})$$
Las comas representan derivadas parciales de los términos métricos con respecto a los índices que los siguen, y $g^{\mu\lambda}$ es el tensor métrico inverso, al igual que se puede tener la matriz inversa de una matriz, como se puede representar el tensor métrico.
Ahora que tenemos los símbolos de Christoffel podemos obtener algo conocido como el tensor de curvatura de Riemann $R^{\beta}_{\mu\sigma\nu}$ que es una medida de la curvatura de nuestro espacio y es bastante útil ya que en las ecuaciones de campo se observa un término similar $R_{\mu\nu}$ que es lo que se conoce como una contracción del tensor de Riemann.
La ecuación del tensor de Riemann en términos de los símbolos de Christoffel es: $$R^{\beta}_{\mu\sigma\nu}= \Gamma^{\beta}_{\nu\mu , \sigma}- \Gamma^{\beta}_{\sigma\mu , \nu}+\Gamma^{\beta}_{\sigma\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}-\Gamma^{\beta}_{\nu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\sigma\mu}$$
El tensor de ricci, como contracción del tensor de riemann es $R^{\beta}_{\mu\beta\nu}=R_{\mu\nu}$
La ecuación del tensor de ricci es: $$R_{\mu\nu}=R^{\beta}_{\mu\beta\nu}= \Gamma^{\beta}_{\nu\mu , \beta}- \Gamma^{\beta}_{\beta\mu , \nu}+\Gamma^{\beta}_{\beta\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}-\Gamma^{\beta}_{\nu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\beta\mu}$$
Ahora bien, el escalar de ricci es, como su nombre indica, un escalar y es una contracción del tensor de ricci. La ecuación para ello es $$R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$$
Estas son las ecuaciones para todos los términos de curvatura. El último término de las ecuaciones de campo (además de la constante cosmológica) es el tensor de energía de tensión, $T_{\mu\nu}$ . Eso sólo representa esencialmente la cantidad de masa-energía en puntos del espaciotiempo. Para casos como el del espaciotiempo de Schwarschild mencionado antes, el tensor de tensión-energía es cero, así que en general para los casos simples no hay que preocuparse demasiado por ello. No es que no sea importante, pero aún así.
