Un polinomio tiene el mismo resto cuando se divide por $x+k$ o $x-k$ lo que es $k$ ?

Question

Pregunta

Dado que $y = 3x^3 + 7x^2 - 48x + 49$ y que $y$ tiene el mismo resto cuando se divide por $x + k$ o $x - k$ , encuentre los posibles valores de $k$ .

Mi intento

Dejemos que $f(x) = 3x^3 + 7x^2 - 48x + 49$

$\text{Using Remainder Theorem,}$

\begin{align} f(-k) &= f(k) \\ 3(-k)^3 + 7(-k)^2 - 48(-k) + 49 &= 3(k)^3 + 7(k)^2 - 48(k) + 49 \\ -3k^3 - 7k^2 + 48k + 49 &= 3k^3 + 7k^2 - 48k + 49 \\ -3k^3 --3k^3 - 7k^2 - 7k^2 + 48k + 48k + 49 - 49 &= 0 \\ -6k^3 + 14k^2 + 96k &= 0 \\ \frac{-6k^3}{k} + \frac{14k^2}{k} + \frac{96k}{k} &= \frac{0}{k} \\ 6k^2 + 14k - 96 &= 0 \end{align}

$\text{Comparing } 6k^2 + 14k - 96 = 0 \text{ with } ak^2 + bk + c = 0, a = 6, b = 14, c = -96$

\begin{align} k = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } &= \frac{ -(14) \pm \sqrt{(14)^2 - 4(6)(-96)} }{ 2(6) } \\ k &= 3 \text{ and } -5\frac{1}{3} \end{align}

$\therefore k = 3, -5\frac{1}{3} \text{ or } 0 $

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Mi respuesta es incorrecta. La respuesta correcta es $k = 0, 4 \text{ or } -4$

Answer 1

\begin{align} f(-k) &= f(k) \\ 3(-k)^3 + 7(-k)^2 - 48(-k) + 49 &= 3(k)^3 + 7(k)^2 - 48(k) + 49 \\ \bf-3k^3 - 7k^2 + 48k + 49 &= 3k^3 + 7k^2 - 48k + 49 \\ -3k^3 --3k^3 - 7k^2 - 7k^2 + 48k + 48k + 49 - 49 &= 0 \\ -6k^3 + 14k^2 + 96k &= 0 \\ \frac{-6k^3}{k} + \frac{14k^2}{k} + \frac{96k}{k} &= \frac{0}{k} \\ 6k^2 + 14k - 96 &= 0 \end{align}

Ahí mismo. $7(-k)^2 = 7k^2$ . Al revisarlo, hay más errores de señalización en todo. $-7k^2 - 7k^2$ sería $-14k^2$ no $14k^2$ .

Otra más: $-3k^3 - -3k^3 = 0$ .

Dividiendo por $k$ no es exactamente una operación kosher. ¿Y si $k = 0$ ?

Answer 2

Duncan Ramage le ha mostrado pacientemente dónde se equivocó. Me gustaría darle algunos consejos para evitar los errores que cometió y simplificar su prueba.

No es necesario escribir cada término de $f(k)$ y $f(-k)$ . En lugar de eso, te quedas con la diferencia:

$$0=f(k)-f(-k)=3(k^3-(-k)^3) + 7(k^2-(-k)^2)-48(k-(-k))+(49-49)\\ =6k^3-96k=6k(k^2-16) \implies k=0, \pm 4.$$

Cuando adquieras experiencia, podrás omitir los términos de orden par por completo:

$$0=f(k)-f(-k)=3(k^3-(-k)^3) -48(k-(-k))\\ =6k^3-96k=6k(k^2-16) \implies k=0, \pm 4.$$

Answer 3

Su aplicación del Teorema del Resto parece ser el enfoque para el que se diseñó el problema. Esto se ofrece como una observación demasiado larga para un "comentario", sólo para decir un poco acerca de cómo su cálculo también puede ser interpretado.

Al escribir la ecuación $ \ f(-k) \ = \ f(k) \ \ , $ en cierto modo estamos preguntando por qué valores de $ \ x \ $ la función $ \ f(x) \ = \ 3x^3 + 7x^2 -48x + 49 \ \ $ [marcado en azul en el gráfico anterior] se "comporta" como un simetría par función. Podemos "resolver" nuestra función en dos funciones "componentes" con simetría par e impar, lo que se hace fácilmente para las funciones polinómicas: $$ f(x) \ \ = \ \ f_{even}(x) \ + \ f_{odd}(x) $$ $$ \rightarrow \ \ 3x^3 + 7x^2 -48x + 49 \ \ = \ \ (7x^2 + 49) \ + \ (3x^3 - 48x) \ \ ; $$ $ f_{even}(x) \ \ \text{and} \ \ f_{odd}(x) \ $ están marcados en verde y rojo, respectivamente. Para la función par, por definición, $ \ f(-k) \ = \ f(k) \ \ $ es cierto para todo números reales $ \ k \ \ , $ mientras que esto sólo es cierto para un impar en su función $ \ x-$ intercepta, donde $ \ f(-k) \ = \ -f(k) \ = \ 0 \ \ . $

Así que buscamos esos valores de $ \ x = k \ $ en el que $ \ f_{odd}(k) = 0 \ \ ; $ por lo tanto, podemos escribir simplemente

$$ 3k^3 - 48k \ = \ 0 \ \ \Rightarrow \ \ 3k · (k^2 - 16) \ = \ 0 \ \ \Rightarrow \ \ k \ = \ 0 \ , \ -4 \ , \ 4 \ \ . $$

La función de impar-simetría, entonces, puede ser pensada como un "filtro" que sólo "pasa" los valores de $ \ f(x) \ $ que poseen una simetría par. Vemos en el gráfico anterior que estos son los puntos marcados en los que $ \ f(x) = f_{even}(x) \ $ y $ \ f_{odd}(x) = 0 \ \ . $ La solución $ \ k = 0 \ $ es "trivial" en el sentido de que $ \ f(-0) = f(0) \ $ debe ser verdadera para una función que es continua en $ \ x = 0 \ \ . $

[Una conclusión distinta que podemos hacer es que, salvo en $ \ x = 0 \ \ , $ no hay valor $ \ x = k \ $ para lo cual nuestra función puede tener $ \ f(-k) = -f(k) \ \ , $ desde $ \ f_{even} \ $ nunca es igual a cero. Más generalmente, para una función polinómica, no hay ningún valor de $ \ x = k \ $ que no sea $ \ x = 0 \ $ en el que $ \ f(-k) = -f(k) \ $ si el término constante del polinomio es positivo].

Answer 4

Por el teorema del factor, $3x^3+7x^2-48x+49 = (ax+b)(x^2 - k^2) + c$ . En otras palabras, dividir por un término cuadrático deja un cociente lineal y un resto constante, para que las potencias de ambos lados coincidan.

Obsérvese que sólo hay una manera de hacer que los términos de $x^3, x^2, x$ . Así, $ax^3 = 3x^3 \implies x= 3$ y por lo tanto $-ak^2 = -48 \implies k^2 = 16, k = ±4$ .