¿Qué estoy haciendo mal aquí? implicando una desigualdad

Question

Puede que sea una pregunta muy estúpida, por favor, tened paciencia.

Recordemos que definimos $|a|=a$ si $a\geq 0$ y $|a|=-a $ si $a\leq 0$

Ahora sí, $$-a\leq |a|\leq a$$ y $$-b\leq|b|\leq b$$

así que usando estos dos obtengo $$-(a+b)\leq |a|+b|\leq a+b$$

Eso implica $$||a|+|b||\leq |a+b|$$

Pero esto es incorrecto ya que toma $a=1,b=-1$ obtenemos $LHS=2$ pero $RHS=0$

¿Qué he hecho mal?

Answer 1

$$ -a\leq |a|\leq a $$ hace no se mantiene en general, es incorrecto para los números negativos. Lo que probablemente quiso decir es $$ -|a|\leq a\leq |a| \\ -|b|\leq b\leq |b| $$ y sumando esas desigualdades se obtiene $$ -|a| -|b|\leq a+b\leq |a| + |b| $$ que es la conocida desigualdad del triángulo $$ |a+b| \le |a| + |b| \, . $$