Distribución de acuerdo con la función

Question

Estoy intentando averiguar cómo mostrar que las distribuciones coinciden con una función dada en algún dominio.

Por ejemplo, dejemos que $f \in C(\mathbb{R^n}\setminus\{0\})$ tal que $f(rx) = r^{-n}f(x)$ y $\int f d\sigma = 0$ (donde $\sigma$ es la medida de la superficie en la esfera). Estas condiciones implican que $f$ no es localmente integrable cerca del origen, pero podemos definir la distribución del valor principal

$$(PV(f), \phi) = \lim_{\epsilon -> 0} \int_{|x| > \epsilon} f(x)\phi(x)dx$$

que está de acuerdo con $f$ en $\mathbb{R^n}\setminus\{0\}$ . No estoy seguro de cómo debo mostrar este hecho: que la distribución del valor principal concuerda con $f$ . Cualquier ayuda que me indique la dirección correcta será apreciada.

Answer 1

Tome cualquier compacto $K$ que no contenga cero, entonces tome cualquier función de prueba $\phi$ con apoyo en $K$ entonces $$\langle pv(f),\phi\rangle = \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\|x\|\ge \epsilon}f(x)\phi(x)dx.$$ Si $$\epsilon< dist(K,0),$$ entonces $$ \int_{\|x\|\ge \epsilon}f(x)\phi(x)dx = \int_Kf(x)\phi(x)dx,$$ por lo que $$\langle pv(f),\phi\rangle = \int_{K}f(x)\phi(x)dx$$ y, por lo tanto, se obtiene el resultado deseado.