La media geométrica del intervalo continuo $[a,x]$ (con $a > 0$ ) es $$GM(a,x) = \frac{1}{e} \left(\frac{x^x}{a^a} \right)^{\frac{1}{x-a}}.$$
Los medios geométricos tienen aplicaciones en varios ámbitos, como el financiero.
La derivación de esta fórmula es un buen ejercicio de cálculo de segundo semestre. Se puede hacer como una aplicación de la integral, quizás justo después de discutir la media aritmética de una función sobre un intervalo continuo y asumiendo que se ha discutido la integración por partes (para el único lugar de la derivación donde se necesita una antiderivada de $\ln x$ ). Dividir el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos igualmente espaciados de anchura $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ y calcular la media geométrica discreta utilizando los puntos finales de la derecha como aproximación a través de $$\left(\prod_{i=1}^n (a + i\Delta x) \right)^{\frac{1}{n}} = \left(\prod_{i=1}^n (a + i\Delta x) \right)^{\frac{\Delta x}{b-a}}.$$ Tomando el límite, tenemos \begin {align*}GM(a,b) &= \lim_ { \Delta x \to 0} \left ( \prod_ {i=1}^n (a + i \Delta x) \right )^{ \frac { \Delta x}{b-a}} \\ &= \exp \lim_ { \Delta x \to 0} \ln \left ( \left ( \prod_ {i=1}^n (a + i \Delta x) \right )^{ \frac { \Delta x}{b-a}} \right ) \\ &= \exp \left ( \frac {1}{b-a} \lim_ { \Delta x \to 0} \Delta x \sum_ {i=1}^n \ln (a + i \Delta x) \right ) \\ &= \exp \left ( \frac {1}{b-a} \int_a ^b \ln x \N - dx \right ) \\ &= \exp \left ( \frac {1}{b-a} \left (x \ln x - x \right ) \Big |_a^b \right ) \\ &= \exp \left ( \frac {1}{b-a} \left (b \ln b - b - a \ln a + a \right ) \right ) \\ &= \exp \left ( \frac {1}{b-a} \left ( \ln \frac {b^b}{a^a} \right ) - 1 \right ) \\ &= \frac {1}{e} \left ( \frac {b^b}{a^a} \right )^{ \frac {1}{b-a}}. \end {align*}
Por supuesto, se puede generalizar esto a la media geométrica de una función $f(x)$ sobre un intervalo continuo, pero la derivación se vuelve más desagradable, ya que requiere antidiferenciar $\ln f(x)$ .
Desde otro punto de vista, el GM $(a,x)$ es un resultado directo del hecho de que en cálculo del producto la derivada del producto de $\left(\frac{x}{e}\right)^x$ es precisamente $x$ . (La derivada del producto es efectivamente $\exp$ de la derivada logarítmica habitual, así que ahí es donde te puede interesar saber cómo diferenciar esta función). La media geométrica guarda la misma relación con el cálculo del producto que la media aritmética con el cálculo habitual. Para más información, puedes consultar algunas notas sobre el cálculo del producto que escribí hace varios años o simplemente haz una búsqueda sobre el término.
