Notación normativa del álgebra lineal

Question

Estaba leyendo un artículo en el que los autores utilizaban la siguiente notación:

$$||b - \mathbf{A}x||^2_D = (b - \mathbf{A}x)^t \mathbf{D} (b - \mathbf{A}x)$$

donde $\mathbf{D}$ es una matriz diagonal

Tenía curiosidad por el subíndice $D$ al tomar la norma- $2$ . ¿Representa esta notación algo especial o es sólo la forma que tiene el autor de expresar la cantidad en el lado derecho? ¿Habéis encontrado esta notación antes?

Gracias.

Answer 1

Espero haber entendido bien la pregunta. Creo que el superíndice $2$ se supone que sólo significa "al cuadrado", no tiene nada que ver con el $2$ -norma, y no es más que la forma que tiene el autor de expresar el lado derecho. La razón por la que la notación es natural es la siguiente: dada una matriz diagonal $D$ con entradas positivas, podemos definir un producto interno mediante $$\langle x,y\rangle_D = x^TDy$$

Ahora todo producto interno $\langle \cdot, \cdot \rangle$ induce una norma por

$$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle }$$

o, en otras palabras,

$$\|x\|^2 = \langle x, x \rangle$$

Así que lo que el autor quiere decir es que la norma $\|x\|_D$ se define por

$$\|x\|_D = \sqrt{\langle x,y\rangle_D} = \sqrt{x^TDx}$$

o, para evitar la notación de raíz cuadrada,

$$\|x\|_D^2 = x^TDx$$

Supongo que la única correlación con el $2$ -es que ambos son inducidos por un producto interno.

Answer 2

Si x e y son complejos, entonces hay un nombre para este tipo de producto interno $<x,y>:= y^T D x$ , que es el producto hermitiano, donde D es cualquier matriz hermitiana positiva-definida.

Y como explica la wikipedia: Para el caso real corresponde al producto punto de los resultados del escalamiento direccionalmente diferente de los dos vectores, con factores de escala positivos y direcciones de escalamiento ortogonales.

Así que en tu caso, la matriz D da diferentes escalas de los elementos en x e y.