$1.$ Definimos una secuencia de números racionales { $a_n$ } poniendo $$a_1 =3,\;\text{ and}\;\; a_{n+1} = 4 - \frac{2}{a_n} \text{ for all}\; n \in \mathbb{R}.\;\text{ Put}\;\; \alpha = 2 + \sqrt{2}.$$
$(a)$ Calcular $a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$ y $a_6.$ Determine la expansión decimal de $a_6$ y $\alpha$ en su calculadora.
$(b)$ Demostrar, por inducción en $n$ que $3 \leq a_n \leq 4$ para todos $n \in \mathbb{N}.$
$(c)$ Demostrar que $\displaystyle 3 \leq \alpha \leq 4$ y $\alpha = 4 - \frac{2}{\alpha}$ .
$(d)$ Demuestra que $\displaystyle a_{n+1} - \alpha = \frac{2(a_n-\alpha)}{\alpha a_n}$ para todos $n \in \mathbb{N}.$
$(e)$ Demostrar, por inducción en $n$ que $\displaystyle |a_n - \alpha| \leq \frac{|a_1 - \alpha|}{4^{n-1}}$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .
$(f)$ Deduce que $a_n \rightarrow \alpha$ como $n \rightarrow \infty$ .
$2.$ Encuentre un $rational$ función $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ con rango $f(\mathbb{R}) = [-1,\ 1].$ (Así $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ para todos $x \in \mathbb{R}$ para polinomios adecuados $P$ y $Q$ donde $Q$ no tiene una raíz real).
$1(a-d)$ se completan pero $1(e)$ , $1(f)$ y $2$ siguen confundiéndome.
