Demostrar que $a^n-b^n \geq (a-b)nb^{n-1}$ donde $a \geq b \geq 0$

Question

Tengo problemas con esta prueba. Creo que la forma de hacerlo es a través de la inducción. Esto es lo que tengo hasta ahora.

Prueba:

Comenzamos por inducción en n. Para el caso de que n = 1, tenemos $a^1-b^1= (a-b) \geq (a-b)(1)(b^0) = (a-b) $ . $(a-b) \geq (a-b)$

Ahora suponemos que esto es cierto para algún número natural k. $a^k-b^k \geq (a-b)kb^{k-1}$

Ahora debemos demostrar que es cierto para k + 1. Así que $a^{k+1} - b^{k+1} = a^ka-b^kb.$

No estoy muy seguro de cómo proceder a partir de este punto. ¿Dónde puedo utilizar la hipótesis inductiva?

Answer 1

Considere $f\colon \mathbf R \to \mathbf R $ con $f(x)=x^n$ . Supongamos que $0\leq b\leq a$ . Por teorema del valor medio $$a^n -b^n=f(a)- f(b) = f'(\xi) (a-b) \geq nb^{n-1}(a-b)$$ donde $\xi \in (b,a)$ .

Otra forma que se me ha ocurrido es la siguiente, que utiliza la integración:

$$a^n -b^n = \int_b^a nx^{n-1} \; \mathrm d x \geq nb^{n-1}\int_b^a 1 \; \mathrm d x = nb^{n-1}(a-b).$$

Answer 2

No estoy seguro de que la inducción sea el mejor camino a seguir aquí. Lo que yo utilizaría es la siguiente propiedad:

$$\frac{a^n-b^n}{a-b} = a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}$$

Con la inducción, es bastante difícil conseguir el factor de $n$ funcionando correctamente en el RHS (aunque sospecho que es posible).

Answer 3

Puedes proceder por inducción si lo deseas (aunque hay que reconocer que no es tan elegante como las otras soluciones). A partir de la suposición

$$a^k - b^k \geq (a-b) kb^{k-1}$$

esto puede ser claramente reordenado para dar

$$a^k \geq (a-b) kb^{k-1} + b^k.$$

Entonces, para $a\geq 0$ :

$$\begin{align} a^{k+1} - b^{k+1} &= a\cdot a^k - b^{k+1} \\ & \geq a(a-b) kb^{k-1}+ab^k - b^{k+1} \\ & = (a-b) \left(\frac{a}{b}k+1\right) b^k \end{align} $$

donde la última igualdad se deduce tras un poco de álgebra. Entonces, si $a\geq b> 0$ (es decir $\frac{a}{b}\geq 1$ ) tenemos $\frac{a}{b}k+1\geq k+1$ y sigue el paso inductivo.

Obviamente esta prueba inductiva requiere explícitamente $a\geq b> 0$ .

Answer 4

Caso trivial $b=0$ a un lado, dejemos que $c = \frac{a}{b} \ge 1$ entonces, después de dividir por $b^n \gt 0 \,$ la desigualdad se convierte en:

$$c^n-1 \geq (c-1)n$$

Dejemos que $d = c-1 \ge 0\,$ entonces, después de reordenar, la desigualdad se puede escribir como

$$(1+d)^n \geq 1 + n d$$

Esto último es sólo La desigualdad de Bernoulli y, dado que los dos pasos anteriores eran equivalencias reversibles, esto demuestra la desigualdad originalmente propuesta.