Si $AB = BA^2$ y $B^5 = I,$ Entonces, ¿cómo podemos demostrar $A^{31} = I.$

Question

Si $A$ y $B$ son dos matrices no singulares, $AB = BA^2$ y $B^5 = I,$ entonces cómo podemos demostrar $A^{31} = I$ ?

$\bf{My\; Trial::}$ Utilizando $B^5 = I\Rightarrow B^5A^5 = IA^5 = A^5\Rightarrow B^4BA^2A^3 = A^5$

Usando ahora $BA^2 = AB$ obtenemos $B^4ABA^3 = A^5\Rightarrow B^4ABA^2A=A^5\Rightarrow B^4A^2BA=A^5$

No entendí cómo puedo probarlo.

plz Help me

Gracias

Answer 1

Su primera ecuación puede escribirse como $$B^{-1}AB=A^2$$ Si conjugamos por $B$ de nuevo obtenemos $$B^{-2}AB^2=B^{-1}A^2B=B^{-1}AB B^{-1}AB=A^2 A^2=A^4$$

Iterando esto obtenemos $$B^{-5}AB^5=A^{2^5}$$ o $$A=A^{32}$$ y esto da $$A^{31}=I.$$