Encontrar la solución general $y''y^3=1$

Question

Tengo esta pregunta en mi tarea en la clase de álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, y trato de encontrar la solución general para esta segunda EDO.

$$y''y^3 = 1$$

Usando la sustitución dije $p = y'$ y $p' = y'' \rightarrow \frac{dp}{dx}= \frac{dp}{dy} \times \frac{dy}{dx}$

Entonces obtenemos $y^3 \frac{dp}{dx}$ Ahora, ¿cuál es el siguiente paso? ¿Debo integrar o diferenciar la ecuación? ¿Cuál es el truco en este tipo de EDOs?

Gracias de antemano.

Answer 1

Actualización Esta es ahora una solución completa.

Dejemos que $v(x)=y(x)^2$ . Entonces $v'=2yy'$ y así (aquí suponemos que $v\neq 0$ ) $$ v''=2(y')^2+2yy''=\frac{1}{2}\frac{(v')^2}{y^2}+\frac{2}{y^2}=\frac{1}{2}\frac{(v')^2}{v}+\frac{2}{v}, $$ o $$ vv''-\frac{1}{2}(v')^2-2=0 $$ Esta ecuación diferencial puede resolverse como sigue. Diferenciando, encontramos que $$ v'v''+vv'''-v'v''=0, $$ así que $vv'''=0$ . Por lo tanto, $v'''=0$ . Pero entonces $v$ debe ser un polinomio de grado $2$ . Como hemos diferenciado no podemos esperar ningún polinomio de grado $2$ a trabajar. Insertamos un segundo polinomio degee $v=a+bx+cx^2$ en la ecuación diferencial de segundo orden y buscar condiciones en $a$ , $b$ y $c$ que nos da una solución. La condición se convierte en $$ 2ac-\frac{b^2}{2}-2=0. $$ Resolver para $c$ encontramos que $$ v(x)=a+bx+\frac{4+b^2}{4a}x^2. $$ Entonces, se podría volver a $y$ para conseguir $$ y(x)=\pm\sqrt{a+bx+\frac{4+b^2}{4a}x^2}. $$

Answer 2

Divide por y^3 y luego multiplica por y' e integra. Eso te lleva al primer orden. Creo que la siguiente integración es posible, pero es un poco complicado.

Answer 3

Dejar $\frac{dy}{dx} = w.$ entonces se tiene un sistema de dos ecuaciones diferenciales $$\frac{dy}{dx} = w, \frac{dw}{dx} = \frac{1}{y^3}$$ a partir de estos dos, se puede obtener una ecuación diferencial $$\frac{dw}{dy} = \frac{1}{y^3}$$ que pueden integrarse para ofrecerle $$w = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(C -\frac{1}{y^2})$$ ahora se separan las variables para obtener $$\frac{y^2dy}{Cy^2 - 1} = \frac{dx}{2}$$

puedes usar fracciones parciales para encontrar una integral para $y.$