Paso 1. Dado que, por la fórmula de Binet,
$$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\sigma^n-\bar{\sigma}^n\right), $$
donde$\sigma+\bar{\sigma}=1$$\sigma\bar{\sigma}=-1$, tenemos:
$$ F_m \mid F_{mn}, $$
ya en $\mathbb{Z}[x,y]$ el polinomio $x^m-y^m$ divide el polinomio $x^{mn}-y^{mn}$.
Paso 2. Podemos demostrar nuestra declaración, asumiendo sin pérdida de generalidad que $k$ es una fuente primaria de energía. El teorema Chino en conjunción con el Paso 1 de las subvenciones que si la declaración tiene al $k$ es una fuente primaria de energía, entonces se cumple para cada entero.
Paso 3. El Pisano período de Fibonacci y Lucas secuencias de $\!\!\pmod{2}$$3$. En particular, $F_n$ (así como de $L_n$) es aún el fib $n$ es un múltiplo de a $3$. Por otra parte,
$$ F_{2n} = F_n \cdot L_n.$$
Paso 4. Suponiendo que $2^h\mid F_n$ tenemos $n=3m$ en virtud del Paso 3, y:
$$ F_{2^{(d-1)h}n} = F_{2^{(d-1)h}3m} = F_{2^{(d-1)h-1}3m}L_{2^{(d-1)h-1}3m} = F_{3m}\cdot\prod_{j=0}^{(d-1)h-1}L_{3\cdot 2^j m}, $$
así:
$$ \nu_2(F_{2^{(d-1)h}n})\geq \nu_2(F_{n}) + (d-1)h \geq dh,$$
ya que cada término del producto es aún. Así que sólo demostró la declaración en caso de que $k$ es una potencia de $2$.
Paso 5. Suponemos ahora que $k$ es impar. Desde $\frac{x^l-y^l}{x-y}=\sum_{j=0}^{l-1} x^j y^{l-1-j}$, tenemos:
$$\frac{F_{kn}}{F_n}=\sum_{j=0}^{k-1} \sigma^{jn}\bar{\sigma}^{(k-1-j)n}=(-1)^{\frac{k-1}{2}n}+\sum_{j=0}^{\frac{k-1}{2}} (-1)^{jn} L_{(k-1-2j)n},$$
donde $L_a = \sigma^a + \bar{\sigma}^a$. Si ahora utilizamos la identidad:
$$ L_{2a} = \sigma^{2a}+\bar{\sigma}^{2a} = 5 F_a^2 + 2(-1)^a$$
obtenemos:
$$\frac{F_{kn}}{F_n}= (-1)^{\frac{k-1}{2}n}+\sum_{j=0}^{\frac{k-1}{2}} (-1)^{jn}\left(5 F_{\left(\frac{k-1}{2}-j\right)n}^2+2(-1)^{\left(\frac{k-1}{2}-j\right)n}\right).$$
Desde $F_n$ divide $F_{mn}$ $k$ divide $F_{n}$, la última suma $\pmod{k}$ es simplemente:
$$ \frac{F_{kn}}{F_n}\equiv (-1)^{\frac{k-1}{2}n}+\sum_{j=0}^{\frac{k-1}{2}}2(-1)^{\frac{k-1}{2}n}\equiv k (-1)^{\frac{k-1}{2}n}\equiv 0\pmod{k}.$$
Por lo tanto, tenemos que $k\mid F_n$ implica $(k F_n)\mid F_{kn}$, y nuestra reivindicación de la siguiente manera por inducción.
