¿Por qué es que $\left(\bigcup_{\alpha \in A} K_{\alpha} \right)^c = \bigcap_{\alpha \in A} K_{\alpha}^c$

Question

¿Por qué $$\left(\bigcup_{\alpha \in A} K_{\alpha} \right)^c = \bigcap_{\alpha \in A} K_{\alpha}^c$$? ¿Por qué la unión de conjuntos abiertos es abierta? Mi profesor dice que lo es, pero no entiendo por qué. Cualquier ayuda

Answer 1

Esto es solo una explicación si ya sabes que la intersección de conjuntos cerrados es cerrada. Esto se debe a que si $K_{\alpha}$ es abierto para todos $\alpha\in A$, entonces $K_{\alpha}^c$ es cerrado, por lo que $\bigcap_{\alpha\in A}K_{\alpha}^c$ es un conjunto cerrado. Por lo tanto, su complemento, que es igual a $\bigcup_{\alpha\in A} K_{\alpha}$, de hecho, es abierto.