Prueba $n$ es primo. (Teorema de Fermat, probablemente)

Question

Dejemos que $x$ y $n$ sean enteros positivos tales que $1+x+x^2\dots x^{n-1}$ es primo. Demostrar que $n$ es primo

Mi intento:

Digamos que la suma anterior es igual a $p$ $$1+x+x^2\dots x^{n-1}\equiv 0\text{(mod p)}\\ {x^n-1\over x-1}\equiv0\\ \implies x^n\equiv1\text{ (as $ p $ can't divide $ x-1 $)}$$

¿Cómo proceder?

Answer 1

Esto no implica ningún truco del tipo del pequeño teorema de Fermat. De hecho, se deduce de un truco de factorización muy simple.

En cierto sentido, si $n = pq$ , entonces organizamos el $n$ poderes $x^0,...,x^{pq-1}$ en un $p \times q$ de la caja, y luego cobrar las condiciones.

Entonces, escribe $n = pq$ para algunos $1 < p,q < n$ si $n$ no es primo. Entonces: $$ 1 + ... + x^{pq-1} = (1 + ... + x^{p-1}) + (x^{p} + ... + x^{2p-1}) + ... + (x^{p(q-1)} + ... + x^{pq - 1}) \\ = (1 + ... + x^{p-1}) (1 + x^p + x^{2p} + ... + x^{p(q-1)}) $$

por ejemplo, si $n = 6 = 2 \times 3$ entonces $$1 + ... + x^5 = (1+x)(1 + x^2 + x^4)$$ y si $n = 9 = 3 \times 3$ entonces $$1 + ... + x^8 = (1+x+x^2)(1+x^3+x^6)$$

Answer 2

Sugerencia :

$$x^{ab}-1=(x^a-1)(x^{a(b-1)}+x^{a(b-2)}+\dots+x^a+1)$$

Answer 3

Si $n$ no es primo, se puede escribir como $ab$ con $a,b\in\mathbb N\setminus\{1\}$ . Entonces $$x^n-1=x^{ab}-1=(x^a)^b-1^b=(x^a-1)\left(x^{a(b-1)}+x^{a(b-2)}+\cdots+1\right)$$ y por lo tanto $$1+x+\cdots+x^{n-1}=\frac{x^n-1}{x-1}=(x^{a-1}+a^{a-2}+\cdots+1)\left(x^{a(b-1)}+x^{a(b-2)}+\cdots+1\right).$$

Answer 4

Si $x = 1$ Es obvio.

Para $x>1$ , dejemos que $n$ sea compuesto, digamos $n = pq$ con $p, q>1$ . En ese caso, tenemos $$ (1+x+\cdots+x^{n-1})(x-1) = x^n-1 = x^{pq}-1\\ = (x^p)^q-1\\ = (1+x+x^p+x^{2p}+\cdots + x^{(q-1)p})(x^p-1) $$ Así, $x^p-1$ divide $x^n-1$ pero no es igual. En otras palabras, $\frac{x^n-1}{x^p-1}$ es un número entero mayor que $1$ . Obtenemos $$ \frac{x^n-1}{x^p-1} =\frac{(1+x+\cdots+x^{n-1})(x-1)}{(1+x+\cdots +x^{p-1})(x-1)}\\ = \frac{1+x+\cdots+x^{n-1}}{1+x+\cdots +x^{p-1}} $$ Esa fracción final es un número entero mayor que $1$ y el denominador es un número entero mayor que $1$ lo que significa que el numerador debe ser compuesto.