En base 10, 1/3 no se pueden representar en un número finito de dígitos. Existen ejemplos en muchas otras bases (en particular base 2, ya que es relevante a la computación). Me pregunto: ¿existe alguna base en que cada número racional se puede representar en un número finito de dígitos? Mi intuición es que la respuesta es no. Si es así, ¿qué es una prueba de ello?
Respuestas
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Bill Trok
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Massimo Ortolano
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Una representación, aunque no posicional, que produce una cadena finita de números racionales es el de Stern-Brocot la representación que se deriva de la de Stern-Brocot árbol (también aquí).
Stern-Brocot árbol es un binario de árbol que se puede utilizar para enumerar todos los racionales y que tiene aplicaciones útiles en la aproximación racional de los números reales. Aquí es una parte de este curioso árbol (el eje horizontal tiene una escala logarítmica):
Desde los nodos de este árbol especial en una correspondencia uno a uno con los racionales, se puede representar cada racional por una cadena que especifica el modo de caminar hacia el árbol, a partir de la raíz de 1/1, para llegar a la dada racional. Desde el árbol binario es, un ser racional puede ser especificado por una cadena de L(eft) y R(erecha) cartas. La representación es finito porque todas las fracciones se puede llegar con un número finito de curvas.
Por ejemplo, la fracción 8/5 puede ser especificado por RLRL.
Los números reales tienen, en cambio, una infinita representación. Por ejemplo, el cociente de oro tiene la buena representación RLRLRLRLRL...
Fat Mind
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Un número racional $x$ tiene una finita extensión digital en base $b$ si y solamente si es expresable como $a/b^n$ % de un número entero $a$y algunos $n\ge1$. En particular, $u/v$ (escrito en términos más simples) no se puede escribir en base $b$ si y sólo si el % de denominador $v>1$tiene un factor primordial que $b$ no.
Tim
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En estándar notación posicional, no. Sólo debes elegir cualquier número p, que es relativamente alto en la base y 1/p no se terminará.
Hay sin embargo una manera deliciosa de hacer este si jugamos un poco suelto y encantador con lo que es la "base", llamado "base factorial" (si Google, hay 6 millones de visitas!). Esto tiene la propiedad exacta que pides. Incluso si no cumple sus necesidades, es una idea muy interesante.
