Encontrar las raíces de un polinomio cuadrado complejo

Question

Estoy atascado con este ejercicio y me gustaría recibir ayuda. Me lo han pedido:

Encuentra las raíces en $\mathbb{C}$ y factorizar en $\mathbb{C[x]}$ el polinomio $x^2 + (3+2i)x + 5 + i$

He probado muchas cosas. El primer intento fue ver si podía factorizarlo con sólo mirarlo. Luego, probé la fórmula $x=\frac{-b \pm w}{2a}$ , donde $w^2= b^2-4ac$

Lo hice y obtuve $w^2= 8i + 15$ y luego escribió $w= c+di$ ya que es un número complejo, y escribió un sistema de ecuaciones:

$a^2-b^2= -15$

$2ab= 8$

$a^2 + b^2= 289$

Con ese sistema consigo que $a=\pm\sqrt{137}$ Con esta información obtengo $b$ y luego volver a mi ecuación anterior con $x$ Pero eso ya está lejos de ser la respuesta: $x_1=-1+i$ , $x_2=-2-3i$

Es evidente que hay algo que falla en mi razonamiento. ¿Podría alguien ayudarme a descubrirlo? Muchas gracias.

Answer 1

Deberías haber conseguido $$ b^2-4ac=(3+2i)^2-4(5+i)=9+12i-4-20-4i=8i-15 $$ Ahora, el ajuste $8i-15=(r+is)^2$ se obtiene $$ \begin{cases} r^2-s^2=-15 \\[4px] 2rs=8 \\[4px] r^2+s^2=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17 \end{cases} $$ Así, $2r^2=2$ y $r=\pm1$ junto con $s=4/r$ por lo que las raíces cuadradas son $w_1=1+4i$ y $w_2=-1-4i$ .

Se pueden calcular las raíces como $$ \frac{-b+w_1}{2} \qquad\qquad \frac{-b+w_2}{2} $$ Aviso $-b$ no $-b^2$ .

Answer 2

Después de la fórmula cuadrática tenemos $$x_{1,2}-\frac{3+2i}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3+2i}{2}\right)^2-(5+i)}$$ tras la simplificación obtenemos $$x_1=-2-3i$$ $$x_2=-1+i$$

Answer 3

Sugerencia Tenga en cuenta que $b^2-4ac=-15+8i=1^2+2\cdot (4 i)\cdot 1+(4i)^2=(\pm(1+4i))^2$ .

Answer 4

$-2-3i+(-1+i)=-3-2i$ y $(-2-3i)(-1+1)=2-2i+3i+3=5+i$ .

Así, por el teorema de Viete obtenemos la respuesta: $\{-2-3i,-1+i\}$

y $x^2 + (3+2i)x + 5 + i=1(x-x_1)(x-x_2)=(x+2+3i)(x+1-i)$ .

Answer 5

Tienes un error (de signo) en $w^2$ : $$ w^2=b^2-4ac=(9-4+12i)-(20+4i)=8i-15=(4i+1)^2 $$