¿Es realmente notable la conservación de la energía?

Question

¿No es la conservación de la energía un resultado trivial que llega debido a la forma en que se definen la energía cinética y la energía potencial?

La energía cinética de un cuerpo de masa $m$ y la velocidad $v$ se define como $\frac{1}{2}mv^2$ y su energía potencial debida a alguna fuerza $F$ se define en función de su posición $r$ con respecto a alguna posición de referencia $r_0$ como $PE=-\int_{r_0}^rFdr$

Así, la energía total absoluta de un cuerpo puede calcularse como $$E=\frac{1}{2}mv^2-\int_{r_0}^rFdr$$

Ahora, este $E$ permanece inalterado aunque cambien la posición y la velocidad del cuerpo si todas las fuerzas son conservativas. Pero veamos cómo el cambio de $E$ se define:

El cambio en $E$ es el cambio en $PE$ + el cambio en $KE$ .

Ahora, el cambio en $KE$ es igual al trabajo realizado.

$$\delta KE= \int_{r_1}^{r_2}Fdr......(1)$$ Al cambiar la variable en $v$ $$=\int_{v_1}^{v_2}mvdv$$ $$=\frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2)$$

Y, el cambio en el PE a medida que el cuerpo pasa de $r_1$ a $r_2$ es: $$\delta PE=-\int_{r_1}^{r_2}Fdr....(2)$$

Obsérvese que las integrales $(1)$ y $(2)$ sólo se diferencian por el signo. Así que no es de extrañar que el cambio neto siga siendo $0$ . Para evaluar la expresión del cambio en $KE$ cambiamos las variables de la integral a $v$ . Y, para obtener la expresión de cambio en $PE$ no cambiamos la variable y evaluamos el negativo de la misma integral en términos de posición. Si el cambio en $PE$ se acaba de definir como el negativo del cambio en $KE$ Entonces, ¿no es trivial que la energía neta no cambie?

Incluso yo puedo atribuir una cantidad invariable a un cuerpo. Supongamos que sobre un cuerpo actúa una fuerza $F$ y atribuyo esta cantidad al cuerpo:

$$A=m\ln(v)-\int_{t_0}^t\frac{F}{v}dt$$ $t_0$ es cualquier tiempo elegido arbitrariamente. Esta cantidad se compone de dos cantidades: $B=m\ln(v)$ y $C=-\int_{t_0}^t\frac{F}{v}dt$ .

El cambio en $C$ a medida que el tiempo cambia de $t_1$ a $t_2$ es:

$$\delta C=-\int_{t_1}^{t_2}\frac{F}{v}dt$$

Supongamos que la velocidad del cuerpo en el momento $t_1$ es $v_1$ y en el momento $t_2$ es $v_2$ . Ahora, el cambio en $B$ cuando la velocidad del cuerpo cambia de $v_1$ a $v_2$ es:

$$\delta B=m(\ln(v_2)-\ln(v_1))$$ $$=\int_{v_1}^{v_2}\frac{mdv}{v}$$ $$=\int_{v_1}^{v_2}\frac{mdv}{vdt}dt$$ $$=\int_{t_1}^{t_2}\frac{F}{v}dt$$ $$=-\delta C$$

Así que, $\delta B+\delta C=0$ . Por lo tanto, $\delta A=0$ . Así que, $A$ también es una cantidad invariable. Entonces, ¿qué tiene de especial la conservación de la energía si numerosas cantidades invariantes como $A$ ¿puede atribuirse a un cuerpo?

De hecho, la definición de $PE$ requiere que la fuerza sea conservadora porque puede haber infinitos caminos que unan el punto $r_0$ a $r$ y requerimos $PE$ para ser independiente del camino seguido. Pero para definir la cantidad $C$ no hay tal restricción en la naturaleza de la fuerza porque el tiempo sólo puede fluir a lo largo de un camino único desde $t_0$ a $t$ . $PE$ relaciona cada punto del espacio con un número mientras que $C$ relaciona cada instante de tiempo con un número.

Answer 1

Definitivamente lo es. Puede ser interesante ver algunos casos en los que no es así.

Un ejemplo que me viene a la mente sería la fricción, pero como todos sabemos, la energía se conserva, sólo que se almacena en forma de calor, lo que no se suele tener en cuenta.

Un ejemplo más interesante es el de las teorías de campos cuánticos en espacios curvos, donde no siempre es trivial definir una energía y mucho menos demostrar que se conserva.

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Permítanme dar un ejemplo: (Lo siento si no es el nivel de respuesta que esperabas...)

Típicamente definimos el tensor de momento de energía como

$$T^{\mu\nu} = \partial^\mu \phi \pi^\nu - g^{\mu\nu} \mathcal{L}$$

Típicamente decimos que la energía es simplemente la componente 00 de este tensor a saber $T^{00}$ y se supone que se conserva. ¡Pero pensemos en esta afirmación !

Una afirmación de conservación sólo puede hacerse si existe alguna corriente de 4 vectores en este caso, la corriente de energía con el componente zeroth la densidad de energía y sus otros componentes el flujo de energía llamemos a este objeto $E^\mu$ .

Si esto existe y se puede extraer de $T^{\mu\nu}$ que debemos tener $E^{\mu} = T^{\mu\nu}k_\nu$ comprobemos qué condiciones deben cumplirse para $E^\mu$ para ser conservado.

La conservación de una corriente significa que $\nabla_\mu E^\mu = 0$ donde $\nabla$ es la derivada covariante del espaciotiempo

$$\nabla_\mu T^{\mu\nu}k_\nu = 0$$

Suponiendo que $\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$ esto se convierte en:

$$T^{\mu\nu} \nabla_\mu k_\nu = 0 \rightarrow \nabla_\mu k_\nu=0$$

Se trata de una exigencia muy estricta que no suele satisfacerse. Si $T^{\mu\nu}$ fuera simétrico podríamos reescribirlo como

$$T^{\mu\nu}\frac{1}{2} (\nabla_\mu k_\nu + \nabla_\nu k_\mu)=0 \rightarrow (\nabla_\mu k_\nu + \nabla_\nu k_\mu)=0 \rightarrow k = \text{killing vector}$$

¡Que se satisface en más casos !

Conclusión: $T^{00}$ es corresponde a la densidad de energía de alguna corriente vectorial si y sólo si $T^{\mu\nu}$ ¡es simétrica, constante covariante y hay algún vector asesino en nuestro espaciotiempo !

Evidentemente, no siempre es así. Por ejemplo, el Universo Krasner no tiene ese vector de muerte.

Y lo que es más relevante, ¡el universo Friedman en el que vivimos tampoco tiene ese vector de muerte! Y, de hecho, en cosmología es muy difícil llegar a una definición satisfactoria de la energía.

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Para redondear, en los casos clásicos simples, no es sorprendente. Si pasamos a los sistemas cuánticos es muy sorprendente y, por supuesto, no siempre es cierto.

Espero que esto te haya ayudado :) ¡! Siéntase libre de hacer algunas preguntas, ya que esto es, obviamente, bastante para entender a la vez...

Answer 2

Lo que has hecho es derivar e integrar una constante (masa, en tu ejemplo), la cantidad conservada que encuentras así es trivial y no es una cantidad conservada, es un escalar invariante por definición.

Empezaste con:

$m/2=\frac{E_k}{v^2}$

Entonces diferencie:

$0=\frac{mv}{v^2}dv-\frac{mv^2}{v^3}dv=\frac{m }{v }dv-\frac{m }{v }dv$

Luego integrar, para obtener

$m\ln(v)-m\ln(v_0)-\int{\frac{ma}{v}dt}=const$

Answer 3

Creo que la razón por la que parece poco impresionante es que estás viendo un caso especial que se desarrolló mucho después de que surgiera el caso general más impresionante.

En el caso que mencionas, partes del hecho de que los cambios en la energía potencial son lo contrario de los cambios en la energía cinética. Pero partes de la suposición de que la energía potencial existe en primer lugar.

La parte realmente sorprendente de la conservación de la energía fue descubrir que podíamos escribir términos, como energía cinética energía potencial, que hacían que la energía se conservara. Consideremos como ejemplo la energía potencial gravitatoria. Descubrimos que había un número, proporcional a la altura de un objeto y a la masa de un objeto, que podía predecir totalmente la velocidad de un objeto si caía desde esa altura. Piénsalo. ¿Una extraña conexión entre una altura y una velocidad, que era increíblemente repetible? Es una afirmación impresionante.

Luego empezamos a descubrir otras formas de energía. Descubrimos la energía electromagnética (luz). Descubrimos la energía del sonido. Descubrimos la energía térmica. Descubrimos la energía química. Con cada uno de esos tipos de energía, descubrimos que si se convertía una energía en otra y viceversa, el resultado era siempre un neto de ningún cambio en este extraño y poderoso valor escalar.

Lo sorprendente es que puedo mostrarte una motocicleta que "funciona con agua, casi sin gasolina", utilizando el giro del motor para hacer funcionar un generador (mecánico->eléctrico) que luego se utiliza para electrolizar el agua (eléctrico->químico), luego utilizar un campo magnético generado por imanes de tierras raras para alinear las moléculas producidas de manera que se recombinen más eficientemente, y utilizar eso para impulsar el pistón (químico->mecánico) para crear energía sin desperdicio - ¡sólo un ciclo utilizando agua! Incluso puedo mostrarte mi prototipo que "casi está ahí": todavía necesita un poco de gas, pero "ahora funciona principalmente con agua". Y después de todo eso, puedes sonreír y decir "eso es bonito, pero no funciona realmente". Porque puedes ver que acabo de hacer un viaje de ida y vuelta desde la energía mecánica en un pistón, a través de todos estos pasos extravagantes, justo de vuelta a la energía mecánica en un pistón y estar muy seguro de que, de hecho, no terminé con más energía de la que empecé.

De hecho, puede estar tan seguro, que la oficina de patentes de Estados Unidos ya no acepta patentes para ninguna máquina que pretenda crear energía en conflicto con las leyes de conservación de la energía.

Todos esos pasos. Piensa en todas las ecuaciones que podrías escribir, y en todos los ajustes de curvas empíricas que podrías hacer respecto a cómo funcionan las explosiones en los pistones y qué podrían estar haciendo mis imanes de tierras raras. Y puedes saltarte todos ellos porque puedes estar seguro de que la energía se conserva.

Eso sí que es impresionante.