Extensiones suaves de los límites de los dominios convexos

Question

Dado un dominio convexo $\Omega$ con una parte de $C^1$ datos del límite $g \in C(\partial \Omega)$ y $g \in C^1(\Gamma_i)$ con $\bigcup_{i} \Gamma_i = \partial \Omega$ .

Ahora, quiero saber si existe una función $u \in C(\Omega)$ con además $ \Vert u \Vert_{L^{\infty}(\Omega)} \leq C \Vert g \Vert_{L^{\infty}(\partial \Omega)} $ y (!) $ \Vert u \Vert_{W^{1,\infty}(\Omega)} \leq C \Vert g \Vert_{W^{1,\infty}(\partial \Omega)} $ .

Si se simplifica algo, soy feliz si las cosas funcionan en simplices en $\mathbb{R}^d$ , $d=2,3$ .

He pensado en extensiones armónicas o en extensiones construidas explícitamente, pero ninguna ha funcionado realmente hasta ahora, aunque espero que la afirmación se mantenga.

Answer 1

Se puede extender una función de Lipschitz acotada desde cualquier conjunto, preservando tanto la constante de Lipschitz como la norma de supremacía. Esto se llama la extensión de McShane-Whitney ( referencia ). Sea $L$ sea la constante de Lipschitz de $g$ . Definir $$ h(x) = \inf_{y\in \partial \Omega} (g(y)+L|x-y|) $$ Este es un $L$ -Lipschitz en todos los $\mathbb{R}^d$ y está de acuerdo con $g$ en $\partial\Omega$ (ambas cosas son fáciles de demostrar).

Por último, truncar $h$ : $$ g(x) = \min(\sup_{\partial\Omega} g, \max(\inf_{\partial\Omega} g, h(x))$$ El truncamiento preserva la propiedad de Lipschitz (la misma $L$ de nuevo), y no cambia los valores de $h$ en $\partial\Omega$ .