Necesito un ejemplo para la suma $$\sum_{1}^{\infty } u_n(x)$$ que convergen absolutamente y uniformemente en [a,b] mientras que la suma $$\sum_{1}^{\infty } \left |u_n(x) \right |$$ no convergen uniformemente en [a,b].
Respuesta
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Bastaría con encontrar una secuencia de funciones no negativas $(u_n)$ y un intervalo $[a,b]$ tal que
$\ \ \ $ 1) $\sum\limits_{n=0}^\infty u_n$ es convergente en $[a,b]$ ,
$\ \ \ $ 2) $\sum\limits_{n=0}^\infty u_n$ no es uniformemente convergente en $[a,b]$ ,
$\ \ \ $ 3) $(u_n)$ es una secuencia decreciente de funciones no negativas.
y
$\ \ \ $ 4) $(u_n)$ converge uniformemente a la función cero en $[a,b]$ .
Para entonces la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n u_n(x)$ convergerá uniformemente en $[a,b]$ .
En efecto, las condiciones 3) y 4) garantizan que la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n u_n(x)$ es uniformemente Cauchy en $[a,b]$ . Para ver esto, configure $f_n(x)=(-1)^n u_n(x)$ . Entonces, para cualquier $x\in[a,b]$ y para dos enteros no negativos cualesquiera $m$ y $n$ con $m\ge n$ tenemos por 3) que $$ |f_n(x)+f_{n+1}(x)+\cdots+ f_m(x)|\le |f_n(x)|. $$ Ahora, a partir de la condición 4) podemos hacer $|f_n(x)|$ uniformemente pequeño sobre $[a,b]$ tomando $n$ suficientemente grande. De ello se desprende que $\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n u_n(x)$ es uniformemente Cauchy, y por tanto uniformemente convergente, en $[a,b]$ .
En los comentarios se ofrece un ejemplo de una secuencia que satisface las condiciones anteriores.
Otra se daría al establecer $u_n(x)={x^2\over (1+x^2)^n}$ en el intervalo $[-1,1]$ . (Obsérvese, utilizando hechos estándar de las series geométricas, que el límite puntual de $(u_n)$ es $f(x)=\cases{1+x^2, & $ x\ne0 $\cr 0, &$ x=0 $}$ . Así que $\sum\limits_{n=0}^\infty u_n$ converge en $[-1,1]$ pero no de manera uniforme. Obsérvese también que por la desigualdad de Bernoulli, para $x\ne0$ $${x^2\over(1+x^2)^n}\le {x^2\over 1+nx^2}={1\over n+(1/x^2)}\le {1\over n};$$ Lo anterior, junto con el hecho de que $u_n(0)=0$ para todos $n$ , demuestra que se cumple la condición 4).
