¿Para qué valores de $n$ es esta fracción irreducible

Question

Pregunta: ¿para qué valores de $n$ es $\frac{2n+3}{n+3}$ ¿Irreducible?

He intentado encontrar su GCD utilizando el algoritmo de Euclides:

$2n+3=2(n+3)-3$

Sé que, para que la fracción sea irreducible, el GCD debe ser igual a 1, así que supongo que tenemos que encontrar los valores de $n$ tal que es igual a 1, pero el resto es -3, que no tiene $n$ plazo.

Answer 1

Así que después de su división tenemos que $$\frac{2n+3}{n+3}=2-\frac{3}{n+3}$$ y la fracción dada es irreducible si $\frac{3}{n+3}$ es irreducible. Ahora observa que el numerador de la nueva fracción es un número primo, lo que significa que este cociente es un número entero si el denominador $n+3$ es igual a $\pm1$ o $\pm 3$ . ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Sugerencia :

Si $d$ es un divisor común de $2n+3$ y $n+3$ también es un divisor de $1(n+3)-(2n+3)=3$ .

Así que el único divisor común no trivial posible de $2n+3$ y $n+3$ es $3$ . ¿se puede proceder?