Estaba leyendo un post sobre cómo los dígitos de pi contienen todas las secuencias de números conocidas, tenía curiosidad por saber si podría reducir esto para resolver este rompecabezas?
Tengo un programa de ordenador (hipotético) que genera una cadena de letras, elegidas de forma aleatoria, independiente y uniforme del alfabeto.
¿Cuántas letras hay que imprimir para que el número esperado de apariciones de la cadena "ABCDEFGH" sea 1?
Esto no tiene nada que ver con la (presunta) normalidad de $\pi$ . La probabilidad de que un determinado $8$ -la cadena de caracteres es ABCDEFGH es $26^{-8}$ por lo que para que el número esperado de estas cadenas sea $1$ por la linealidad de la expectativa, necesitamos $26^8$ $8$ -cadenas de caracteres, por lo que debemos tener $26^8+7$ personajes.
Definamos el evento $$ E_i = \textrm{ "the string $ s $ occurs from letter $ i $ to letter $ i+7 $" }. $$
El evento $E_i$ no son independientes entre sí. Sin embargo, podemos seguir utilizando la linealidad del valor esperado, ya que la independencia no es necesaria.
Calculemos $$ \mathbb{E}[\mathbb{1}_{E_i}] = \mathbb{P}(E_i) = \frac{1}{26^8} . $$
Entonces, observe que el número esperado de ocurrencia después de $N$ letras es (por linealidad) $$ \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{N-7} \mathbb{1}_{E_i} \right] = \sum_{i=1}^{N-7} \mathbb{E}[\mathbb{1}_{E_i}] = (N-7) * \frac{1}{26^8} .$$
Por lo tanto, para tener $$ 1 = (N-7) * \frac{1}{26^8} $$ debemos elegir $$ N = 26^8 + 7 . $$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
