Dejemos que $G$ sea un gráfico cúbico conectado sin bucles ni aristas múltiples. $f_i$ $(i\ge 3)$ es un número de sus caras tal que cada cara delimitada con $i$ bordes. Demostrar que $$\sum\limits_{i\ge 3}(6-i)f_i=12$$ No tengo ninguna pista sobre este problema. Lo único que sé es que este sistema es correcto: \begin{cases} p-q+r=2\\ 3p=2q\\ ir \le 2q \end{cases}
Respuestas
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Tenemos $$\sum_{i \ge 3}(6-i) f_i = 6\sum_{i\ge 3}f_i - \sum_{i\ge 3} i f_i.$$ La primera suma cuenta las caras con $i$ lados para cada posible $i$ , por lo que sólo es contar caras, y se simplifica a $r$ . La segunda suma equivale a contar las aristas de cada cara (ya que $i f_i$ cuenta el $i$ bordes en cada cara con $i$ lados). Cuenta cada arista dos veces, una por cada cara que bordea, por lo que se simplifica a $2q$ . Por lo tanto, $$\sum_{i \ge 3}(6-i) f_i = 6r - 2q.$$ A partir de aquí, el cálculo es sencillo. Dado que $p-q+r=2$ , $r = q-p+2$ Así que $6r - 2q = 4q - 6p + 12$ . Esto se simplifica a sólo $12$ porque $4q - 6p = 2(2q - 3p) = 0$ .
Phicar
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Sólo por mi bien, utilizaré la notación normal: $v=p,e=q,f=r.$
Desde $v-e+f=2$ obtenemos $2v-2e+2f=4$ y la lhs se puede cambiar por $2v-3v+2f=2f-v,$ porque $3v=2e$ . Esto último viene dado por el lema del apretón de manos $$\sum _{v\in V} d_v=2e,$$ donde $d_v$ es el grado del vértice, pero sabemos que es cúbico por lo tanto $d_v=3.$
Desde $2f-v=4$ obtenemos $2f-v+2=6$ y por lo tanto $2(2f-v+2)=12,$ pero $2=v-e+f$ por lo que $$2(2f-v+v-e+f)=2(3f-e)=6f-2e=12.$$ Observe que $$f=\sum _{i\geq 3}f_i,$$ y $$2e=\sum _{i\geq 3}f_i,$$ ¿Por qué?
