Convergencia de $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{n^2}{\sqrt{n^5+1}}$

Question

Quiero comprobar, si $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{n^2}{\sqrt{n^5+1}}$ converge o diverge.

Traté de usar la prueba de Leibniz :

$|a_n|= \frac{n^2}{\sqrt{n^5+1}} = \frac{n^2}{\sqrt{n^4(n+\frac{1}{n^4})}} = \frac{n^2}{n^2\sqrt{n+\frac{1}{n^4}}} = \frac{1}{\sqrt{n+\frac{1}{n^4}}}$

Así que $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{{\frac{1}{\sqrt{n+\frac{1}{n^4}}} = 0}} $

$1>|\frac{a_{n+1}}{a_n}|= \frac{(n+1)^2}{\sqrt{(n+1)^5+1}} \frac{\sqrt{n^5+1}}{n^2}= \frac{2n+1 \sqrt{n^5+1}}{\sqrt{(n+1)^5+1}}= \frac{n^2+2n+1 \sqrt{n+\frac {1}{n^4}}}{(n+1)^2\sqrt{n+1+1}} = \frac {\sqrt{n+\frac {1}{n^4}}}{\sqrt{n+2}}$

Así que $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{n^2}{\sqrt{n^5+1}}$ converge.

¿Podría alguien comprobar mi solución?

Answer 1

Tenemos $$(n^5+1)^{-1/2}=\frac{1}{n^{5/2}}\left(1+\frac{1}{n^5}\right)^{-1/2}=\frac{1}{n^{5/2}}\left(1+O\left(\frac{1}{n^5}\right)\right)$$ por lo que $$(-1)^n\frac{n^2}{\sqrt{n^5+1}}=\underbrace{\frac{(-1)^n}{n^{1/2}}}_{=u_n}+\underbrace{O\left(\frac{1}{n^{11/2}}\right)}_{=v_n}$$ la serie $\displaystyle\sum_n u_n$ es convergente por el teorema de Leibniz y la serie $\displaystyle\sum_n v_n$ también es convergente por comparación con la serie de Riemann. Concluya.

Answer 2

No estoy seguro de Leibitz, pero los términos son decrecientes en valor absoluto, y la serie es alterna, así que estás bien.

Answer 3

La convergencia de $$\sum_{n=1}^N (-1)^n \dfrac{n^2}{\sqrt{n^5+1}}$$ puede concluirse sobre la base de la prueba de alternancia. El resultado general se denomina prueba de alternancia generalizada o prueba de Dirichlet y se basa en Suma parcial de Abel . Demostraremos el enunciado generalizado, aunque es un poco exagerado para este problema es tan fácil de demostrar como la prueba de la alternancia.

Considere la suma $S_N = \displaystyle \sum_{n=1}^N a(n)b(n)$ . Sea $A(n) = \displaystyle \sum_{n=1}^N a(n)$ . Si $b(n) \downarrow 0$ y $A(n)$ está acotada, entonces la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a(n)b(n)$ converge.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que a partir de la suma de Abel, tenemos que $$\sum_{n=1}^N a(n) b(n) = \sum_{n=1}^N b(n)(A(n)-A(n-1)) = \sum_{n=1}^{N} b(n) A(n) - \sum_{n=1}^N b(n)A(n-1)\\ = \sum_{n=1}^{N} b(n) A(n) - \sum_{n=0}^{N-1}^N b(n+1)A(n) = b(N) A(N) - b(1)A(0) + \sum_{n=1}^{N-1} A(n) (b(n)-b(n+1))$$ Ahora bien, si $A(n)$ está acotado, es decir $\vert A(n) \vert \leq M$ y $b(n)$ es decreciente, entonces tenemos que $$\sum_{n=1}^{N-1} \left \vert A(n) \right \vert (b(n)-b(n+1)) \leq \sum_{n=1}^{N-1} M (b(n)-b(n+1))\\ = M (b(1) - b(N)) \leq Mb(1)$$ Por lo tanto, tenemos que $\displaystyle \sum_{n=1}^{N-1} \left \vert A(n) \right \vert (b(n)-b(n+1))$ converge y por lo tanto $$\displaystyle \sum_{n=1}^{N-1} A(n) (b(n)-b(n+1))$$ converge absolutamente. Ahora bien, como $$\sum_{n=1}^N a(n) b(n) = b(N) A(N) + \sum_{n=1}^{N-1} A(n) (b(n)-b(n+1))$$ tenemos que $\displaystyle \sum_{n=1}^N a(n)b(n)$ converge.

En su caso, $a(n) = (-1)^n$ . Por lo tanto, $$A(N) = \displaystyle \sum_{n=1}^N (-1)^n$$ que está claramente acotado.

También, $b(n) = \dfrac{n^2}{\sqrt{n^5+1}}$ es una secuencia monótona decreciente que converge a $0$ .

Por lo tanto, tenemos que $$\sum_{n=1}^N (-1)^n \dfrac{n^2}{\sqrt{n^5+1}}$$ converge.