El grupo alterno $A_5$ tiene $2$ representación irreducible de grado $3$ . Los caracteres de estas representaciones tienen valores irracionales. Supongo que el anillo de invariantes de estas representaciones debe ser conocido en la literatura pero no soy capaz de encontrarlos. De nuevo las entradas de la matriz son también números irracionales, por lo que no puedo calcular los generadores del anillo de invariantes en ninguno de los sistemas de álgebra computacional. Cualquier referencia en esta dirección es muy apreciada.
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Dejemos que $G_0$ sea la imagen de $A_5$ bajo uno de los $3$ -dimensiones representaciones, y $G = \pm G_0$ . Entonces $G$ es el grupo de simetrías del icosaedro, que es un grupo de reflexión euclidiano (tipo $H_3$ (Shephard-Todd #23). Así, $G$ tiene un grupo invariante polinómico, y en este caso los grados generadores son $2, 6, 10$ . Para las invariantes $\phi_2, \phi_6, \phi_{10}$ podemos tomar la norma euclidiana $x \mapsto (x,x)$ , el producto de seis formas lineales $x \mapsto (v,x)$ donde $\pm v$ se extiende sobre $6$ pares de vértices del icosaedro, y el producto de diez formas lineales $x \mapsto (v^*,x)$ donde $\pm v^*$ se extiende sobre $10$ pares de vértices del dodecaedro dual. El anillo invariante de $G_0 \cong A_5$ puede recuperarse entonces como ${\bf C}[\phi_2, \phi_6, \phi_{10}, \phi_{15}]$ donde $\phi_{15}$ es el determinante jacobiano de $\phi_2, \phi_6, \phi_{10}$ (y el producto de las formas lineales $(e,x)$ con $\pm e$ que se extienden sobre pares de centros de aristas del icosaedro o del dodecaedro); estos generadores satisfacen una relación de la forma $\phi_{15}^2 = P(\phi_2, \phi_6, \phi_{10})$ .
