Bases para $L^2(0,T;H)$

Question

Dada una base $b_i$ para el espacio de Hilbert separable $H$ ¿Cuál es la base para $L^2(0,T;H)$ ? ¿Podría ser $\{a_jb_i : j, i \in \mathbb{N}\}$ donde $a_j$ es la base de $L^2(0,T)$ ?

Answer 1

No está lejos del resultado correcto. La base deseada es una familia de fnciones $\{f_{i,j}:i,j\in\mathbb{N}\}$ definido como $$ f_{i,j}(t)=a_j(t)b_j $$ La razón profunda de esto es la siguiente. Ya que tenemos una identificación. $$ L_2((0,T), H)\cong L_2(0,T)\otimes_2 H $$ basta con estudiar las bases del producto tensorial de Hilbert de los espacios de Hilbert. Se sabe que para los espacios de Hilbert $K$ , $H$ con bases ortonormales $\{e_i:i\in I\}$ y $\{f_j:j\in J\}$ respectivamente la familia $$ \{e_i\otimes_2 f_j:i\in I\; j\in J\} $$ es una base ortonormal de $K\otimes_2 H$